रिंग

साध्या शब्दांत सांगायचे तर पूर्णांक संख्या, त्यांतील शून्य ही संख्या, पूर्णांक संख्याची बेरीजनी गुणाकार या संकल्पना एखाद्या संचावर टाकाल्या की त्याला रिंग म्हणतात. रिंग म्हणजे पूर्णांक संख्याचे अमूर्तीकरण होय. एखादा संच रिंग असल्यास त्याच्यातील घटक खऱ्याखुऱ्या संख्या नसल्या तरी त्यांची बेरीज-गुणाकार शक्य होते. गणितामधील ही एक पायाभूत संकल्पना आहे.

समजा की R हा संच आहे, आणि त्याच्यावर ${\displaystyle +}$ आणि ${\displaystyle \cdot }$ ही दोन बायनरी ऑपरेशन आहेत. जर ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ हे तिघे खालील अटींची पूर्तता करत असतील, तर ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ला रिंग म्हणतात:

1. बेरीज असोशिएटीव्ह असते, म्हणजे ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$;
2. ${\displaystyle R}$ मधे ${\displaystyle 0}$ म्हणून चिह्न असते; ${\displaystyle 0}$ आणि कोणत्याही संख्येची बेरीज वा कोणतीही संख्यानी ${\displaystyle 0}$ची बेरीज ही तीच संख्या असते;
3. जर ${\displaystyle x\in R}$ असेल, तर ${\displaystyle -x}$ संख्या ${\displaystyle R}$ मधे असते. या संख्येचा गुणधर्म असा की ${\displaystyle x+(-x)=(-x)+x=0}$;
4. गुणाकार असोशिएटीव्ह असतो, म्हणजे ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$;
5. गुणाकार हा बेरजेवर पसरतो, म्हणजे, ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$; इथे ${\displaystyle x,y,z\in R}$.

बऱ्याचदा ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ रिंग आहे, असे म्हणणे आडनीड असल्याने, ${\displaystyle R}$ रिंग आहे असे म्हणले जाते.

वर म्हटल्या प्रमाणे सर्वात पहीले उदाहरण म्हणेज पूर्णांक संख्याचा संच ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ होय. नेहमी केली जाणारी बेरीजनी गुणाकर या संचाला रिंग बनवतात. दुसरे दाहारण म्हणजे पूर्णांकांमधील सहगुणक असणाऱ्या सर्व बहुपद्यांचा संच, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ , हा त्यावरील नित्याच्या बेरीज-गुणाकाराद्वारे रिंग बनतो. वास्तव संख्या, काम्प्लेक्स संख्या, परिमेय संख्या ह्या सर्व रिंग आहेत.

  मात्र नैसर्गिक संख्यांचा संच ${\displaystyle \mathbb {N} }$, हा मात्र रिंग नाही. कारण, त्यामधे ऋण संख्या नाहीत. त्यामुळे वरील व्याख्येतील चौथी अट पूर्ण होत नाही.