फेझर

भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीमध्ये, एक फेझर ( फेझ वेक्टरचा एक पोर्टमॅन्टो ^{[१] [२]} ) ही एक जटिल संख्या आहे जी सायनसॉइडल फंक्शन दर्शवते ज्याचे मोठेपणा ( A ), कोनीय वारंवारता ( ω ), आणि प्रारंभिक टप्पा ( θ ) वेळ-अपरिवर्तनीय असतात. . हे विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व नावाच्या अधिक सामान्य संकल्पनेशी संबंधित आहे, ^[३] जी सायनसॉइडचे विघटन करून एक जटिल स्थिरांक आणि वेळ आणि वारंवारता यावर अवलंबून घटक बनवते. कॉम्प्लेक्स स्थिरांक, जो मोठेपणा आणि टप्प्यावर अवलंबून असतो, त्याला फासर किंवा जटिल मोठेपणा, ^{[४] [५]} आणि (जुन्या ग्रंथांमध्ये) सिनॉर ^[६] किंवा अगदी कॉम्प्लेक्सर म्हणून ओळखले जाते. ^[६]

विद्युतीय नेटवर्क्समध्ये वेळ बदलणाऱ्या विद्युत् प्रवाहाने चालणारी एक सामान्य परिस्थिती म्हणजे एकाच वारंवारतेसह अनेक सायनसॉइड्सचे अस्तित्व, परंतु भिन्न मोठेपणा आणि टप्पे. त्यांच्या विश्लेषणात्मक प्रस्तुतीकरणातील फरक हा जटिल मोठेपणा (फासर) आहे. अशा फंक्शन्सचे एक रेषीय संयोजन फासोर्सचे रेखीय संयोजन म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते (ज्याला फासर अंकगणित किंवा फासर बीजगणित म्हणून ओळखले जाते ^{[७] :{{{1}}}} ) आणि वेळ/वारंवारता अवलंबून घटक ज्यात त्या सर्वांमध्ये साम्य आहे.

फासर या शब्दाची उत्पत्ती योग्यरित्या सूचित करते की व्हेक्टरसाठी शक्य असलेल्या (डायग्रामॅटिक) कॅल्क्युलससारखे काहीसे वेक्टरसाठी देखील शक्य आहे. ^[६] फासर ट्रान्सफॉर्मचे एक महत्त्वाचे अतिरिक्त वैशिष्ट्य म्हणजे सायनसॉइडल सिग्नल्सचे भिन्नता आणि एकत्रीकरण (सतत मोठेपणा, कालावधी आणि टप्पा असणे) हे फॅसरवरील साध्या बीजगणितीय ऑपरेशन्सशी संबंधित आहे; अशा प्रकारे फासर ट्रान्सफॉर्म टाइम डोमेनमध्ये भिन्न समीकरणे ( वास्तविक गुणांकांसह) सोडविण्याऐवजी फासर डोमेनमध्ये साधी बीजगणितीय समीकरणे (जटिल गुणांकांसह) सोडवून RLC सर्किट्सच्या AC स्थिर स्थितीचे विश्लेषण (गणना) करण्यास अनुमती देते. ^{[८] [९] [a]} 19व्या शतकाच्या उत्तरार्धात जनरल इलेक्ट्रिकमध्ये काम करणारे चार्ल्स प्रोटीयस स्टीनमेट्झ हे फॅसर ट्रान्सफॉर्मचे प्रवर्तक होते. ^{[१०] [११]}

काही गणिती तपशिलांवर नजर टाकल्यास, फॅसर ट्रान्सफॉर्मला लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मची एक विशिष्ट केस म्हणून देखील पाहिले जाऊ शकते, ज्याचा उपयोग (एकाच वेळी) RLC सर्किटचा क्षणिक प्रतिसाद मिळविण्यासाठी केला जाऊ शकतो. ^{[९] [११]} तथापि, Laplace ट्रान्सफॉर्म लागू करणे गणितीयदृष्ट्या अधिक कठीण आहे आणि केवळ स्थिर स्थितीचे विश्लेषण आवश्यक असल्यास प्रयत्न अन्यायकारक असू शकतात. ^[११]

फॅसर नोटेशन ( कोन नोटेशन म्हणून देखील ओळखले जाते) हे इलेक्ट्रॉनिक्स अभियांत्रिकी आणि इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीमध्ये वापरले जाणारे गणितीय नोटेशन आहे. ${\displaystyle 1\angle \theta }$ एकतर वेक्टर दर्शवू शकतो ${\displaystyle (\cos \theta ,\,\sin \theta )}$ किंवा जटिल संख्या ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$, सह ${\displaystyle i^{2}=-1}$, या दोन्हीची तीव्रता 1 आहे. एक वेक्टर ज्याचे ध्रुवीय निर्देशांक परिमाण आहेत ${\displaystyle A}$ आणि कोन ${\displaystyle \theta }$ असे लिहिले आहे ${\displaystyle A\angle \theta .}$ ^[१२]

कोन अंशातून रेडियनमध्ये गर्भित रूपांतरणासह अंशांमध्ये सांगितले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ ${\displaystyle 1\angle 90}$ असल्याचे गृहीत धरले जाईल ${\displaystyle 1\angle 90^{\circ },}$ जे वेक्टर आहे ${\displaystyle (0,\,1)}$ किंवा संख्या ${\displaystyle e^{i\pi /2}=i.}$

स्थिर मोठेपणा, वारंवारता आणि टप्प्यासह वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइडचे स्वरूप आहे:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ),}$

जिथे फक्त पॅरामीटर ${\displaystyle t}$ वेळ भिन्न आहे. काल्पनिक घटकाचा समावेश:

${\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta )}$

देते, यूलरच्या सूत्रानुसार, lede परिच्छेदामध्ये वर्णन केलेल्या फॅक्टरिंग गुणधर्म:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},}$

ज्याचा खरा भाग मूळ सायनसॉइड आहे. जटिल प्रतिनिधित्वाचा फायदा असा आहे की इतर जटिल प्रतिनिधित्वांसह रेखीय ऑपरेशन्स एक जटिल परिणाम देतात ज्याचा वास्तविक भाग इतर जटिल साइनसॉइड्सच्या वास्तविक भागांसह समान रेखीय ऑपरेशन्स प्रतिबिंबित करतो. शिवाय, सर्व गणिते फक्त फासरांनी करता येतात ${\displaystyle Ae^{i\theta },}$ आणि सामान्य घटक ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ निकालाच्या वास्तविक भागापूर्वी पुन्हा समाविष्ट केले जाते.

कार्य ${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\theta )}}$ चे विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व म्हणतात ${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ).}$ आकृती 2 हे कॉम्प्लेक्स प्लेनमध्ये फिरणारे वेक्टर म्हणून चित्रित करते. काहीवेळा संपूर्ण फंक्शनला फॅसर म्हणून संदर्भित करणे सोयीचे असते, ^[१३] जसे आपण पुढील भागात करतो. परंतु फासर हा शब्द सामान्यत: फक्त स्थिर संमिश्र संख्या सूचित करतो ${\displaystyle Ae^{i\theta }.}$

फॅसरचे गुणाकार ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$ एका जटिल स्थिरांकाने, ${\displaystyle Be^{i\phi }}$, दुसरा फासर तयार करतो. याचा अर्थ असा की त्याचा एकमात्र परिणाम अंतर्निहित सायनसॉइडचे मोठेपणा आणि टप्पा बदलणे आहे:

इलेक्ट्रॉनिक्स मध्ये, ${\displaystyle Be^{i\phi }}$ प्रतिबाधाचे प्रतिनिधित्व करेल, जे वेळेपासून स्वतंत्र आहे. विशेषतः हे दुसऱ्या फासरसाठी लघुलेखन नाही . फासर प्रवाहाचा प्रतिबाधाने गुणाकार केल्याने फासर व्होल्टेज तयार होते. परंतु दोन फॅसरचे उत्पादन (किंवा फॅसरचे वर्गीकरण) दोन साइनसॉइड्सचे उत्पादन दर्शवेल, जे एक नॉन-रेखीय ऑपरेशन आहे जे नवीन वारंवारता घटक तयार करते. Phasor नोटेशन केवळ एक वारंवारता असलेल्या प्रणालींचे प्रतिनिधित्व करू शकते, जसे की साइनसॉइडद्वारे उत्तेजित रेखीय प्रणाली.

अनेक फासरांची बेरीज आणखी एक फासर तयार करते. कारण समान वारंवारता असलेल्या सायनसॉइड्सची बेरीज देखील त्या वारंवारतेसह साइनसॉइड असते:

जिथे

आणि, आम्ही घेतल्यास ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$, नंतर ${\displaystyle \theta _{3}}$ आहे:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$ with ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ the signum function;
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$;
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$.

किंवा, कॉम्प्लेक्स प्लेनवरील कोसाइनच्या नियमाद्वारे (किंवा कोनातील फरकांसाठी त्रिकोणमितीय ओळख ):

जिथे ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

महत्त्वाचा मुद्दा असा आहे की A ₃ आणि θ ₃ ω किंवा t वर अवलंबून नाहीत, ज्यामुळे फॅसर नोटेशन शक्य होते. वेळ आणि वारंवारता अवलंबित्व दडपले जाऊ शकते आणि परिणामामध्ये पुन्हा समाविष्ट केले जाऊ शकते जोपर्यंत फक्त त्या दरम्यान वापरलेले ऑपरेशन दुसरे फॅसर तयार करतात. कोन नोटेशनमध्ये, वर दर्शविलेले ऑपरेशन लिहिले आहे:

बेरीज पाहण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे समन्वय असलेले दोन सदिश [A₁ cos(ωt + θ₁), A₁ sin(ωt + θ₁)] आणि [A₂ cos(ωt + θ₂), A₂ sin(ωt + θ₂)] निर्देशांक [A₃ cos(ωt + θ₃), A₃ sin(ωt + θ₃)] सह परिणामी वेक्टर तयार करण्यासाठी वेक्टोरिअली जोडले जातात (अ‍ॅनिमेशन पहा).

भौतिकशास्त्रात, या प्रकारची जोडणी तेव्हा होते जेव्हा सायनसॉइड्स रचनात्मक किंवा विध्वंसकरित्या एकमेकांमध्ये हस्तक्षेप करतात. स्टॅटिक वेक्टर संकल्पना यासारख्या प्रश्नांमध्ये उपयुक्त अंतर्दृष्टी प्रदान करते: "परिपूर्ण रद्दीकरणासाठी तीन समान साइनसॉइड्समध्ये कोणता फेज फरक आवश्यक असेल?" या प्रकरणात, फक्त समान लांबीचे तीन वेक्टर घ्या आणि त्यांना शेपटीत डोके ठेवा जेणेकरून शेवटचे डोके पहिल्या शेपटाशी जुळेल. स्पष्टपणे, या अटी पूर्ण करणारा आकार समभुज त्रिकोण आहे, म्हणून प्रत्येक फासर ते पुढचा कोन 120° आहे (  रेडियन), किंवा तरंगलांबीच्या एक तृतीयांश . तर प्रत्येक तरंगातील फेज फरक देखील 120° असणे आवश्यक आहे, जसे की थ्री-फेज पॉवरमध्ये आहे.

दुसऱ्या शब्दांत, हे काय दर्शविते ते आहे:

तीन लहरींच्या उदाहरणात, पहिल्या आणि शेवटच्या लहरीमधील फेज फरक 240° होता, तर दोन लहरींसाठी विनाशकारी हस्तक्षेप 180° वर होतो. अनेक लहरींच्या मर्यादेत, विध्वंसक हस्तक्षेपासाठी फासरांनी वर्तुळ तयार केले पाहिजे, जेणेकरून पहिला फासर शेवटच्या लाटाच्या जवळपास समांतर असेल. याचा अर्थ असा की अनेक स्रोतांसाठी, जेव्हा पहिली आणि शेवटची लहर 360 अंशांनी भिन्न असते तेव्हा विनाशकारी हस्तक्षेप होतो, पूर्ण तरंगलांबी ${\displaystyle \lambda }$ . म्हणूनच एकल स्लिट डिफ्रॅक्शनमध्ये, जेव्हा दूरच्या काठावरून येणारा प्रकाश जवळच्या किनाऱ्यावरील प्रकाशापेक्षा पूर्ण तरंगलांबीचा प्रवास करतो तेव्हा मिनिमा होतो.

एकल वेक्टर घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरत असताना, बिंदू A वरील त्याची टीप 360° किंवा 2 π ची एक संपूर्ण क्रांती फिरवेल रेडियन्स एका पूर्ण चक्राचे प्रतिनिधित्व करतात. वर दर्शविल्याप्रमाणे त्याच्या फिरत्या टोकाची लांबी वेगवेगळ्या कोनीय अंतराने वेळेत एका आलेखामध्ये हस्तांतरित केल्यास, शून्य वेळेपासून डावीकडे साइनसॉइडल वेव्हफॉर्म काढला जाईल. क्षैतिज अक्षासह प्रत्येक स्थिती शून्य वेळेपासून निघून गेलेली वेळ दर्शवते, t = 0 . जेव्हा सदिश क्षैतिज असते तेव्हा वेक्टरची टीप 0°, 180° आणि 360° येथे कोन दर्शवते.

त्याचप्रमाणे, जेव्हा सदिशाचे टोक अनुलंब असते तेव्हा ते धनात्मक शिखर मूल्य दर्शवते, ( +A_max ) 90° किंवा आणि ऋण शिखर मूल्य, ( −A_max ) 270° किंवा . मग वेव्हफॉर्मचा वेळ अक्ष हा कोन अंश किंवा रेडियनमध्ये दर्शवतो ज्याद्वारे फॅसर हलला आहे. म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की फॅसर हे एका फिरत्या व्हेक्टरचे स्केल केलेले व्होल्टेज किंवा वर्तमान मूल्य दर्शवते जे काही वेळी "गोठवलेले" असते, ( t ) आणि आमच्या वरील उदाहरणात, हे 30° च्या कोनात आहे.

काहीवेळा जेव्हा आपण पर्यायी तरंगरूपांचे विश्लेषण करत असतो तेव्हा आपल्याला फॅसरची स्थिती माहित असणे आवश्यक असते, काही विशिष्ट क्षणी पर्यायी प्रमाणाचे प्रतिनिधित्व करते, विशेषतः जेव्हा आपल्याला एकाच अक्षावर दोन भिन्न वेव्हफॉर्म्सची तुलना करायची असते. उदाहरणार्थ, व्होल्टेज आणि वर्तमान. आम्ही वरील वेव्हफॉर्ममध्ये असे गृहीत धरले आहे की वेव्हफॉर्म t = 0 वाजता एका डिग्री किंवा रेडियनमध्ये संबंधित फेज कोनसह सुरू होते.

परंतु या शून्य बिंदूच्या डावीकडे किंवा उजवीकडे दुसरे वेव्हफॉर्म सुरू झाल्यास, किंवा जर आपल्याला दोन वेव्हफॉर्ममधील संबंध फासर नोटेशनमध्ये दर्शवायचे असेल, तर आपल्याला Φ हा फेज फरक लक्षात घेणे आवश्यक आहे. . मागील फेज डिफरन्स ट्यूटोरियलमधील खालील आकृतीचा विचार करा.

फासरचे व्युत्पन्न किंवा अविभाज्य वेळेमुळे दुसरा फासर तयार होतो. ^[b] उदाहरणार्थ:

म्हणून, फासर प्रस्तुतीकरणामध्ये, सायनसॉइडचे व्युत्पन्न वेळेचा स्थिरांकाने गुणाकार होतो. ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ .

त्याचप्रमाणे, फॅसरचे एकत्रीकरण द्वारे गुणाकाराशी संबंधित आहे ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ वेळ अवलंबून घटक, ${\displaystyle e^{i\omega t},}$ अप्रभावित आहे.

जेव्हा आपण phasor अंकगणितासह एक रेखीय विभेदक समीकरण सोडवतो, तेव्हा आपण फक्त फॅक्टरिंग करतो ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ समीकरणाच्या सर्व अटींपैकी, आणि ते उत्तरामध्ये पुन्हा समाविष्ट करणे. उदाहरणार्थ, आरसी सर्किटमधील कॅपेसिटरमधील व्होल्टेजसाठी खालील विभेदक समीकरण विचारात घ्या:

जेव्हा या सर्किटमधील व्होल्टेज स्रोत साइनसॉइडल असतो:

आम्ही बदलू शकतो ${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

जेथे phasor ${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$ आणि phasor ${\displaystyle V_{\text{c}}}$ निर्धारित केले जाणारे अज्ञात प्रमाण आहे.

फासर शॉर्टहँड नोटेशनमध्ये, विभेदक समीकरण कमी होते:

फॅसर कॅपेसिटर व्होल्टेजचे निराकरण करते:

आपण पाहिल्याप्रमाणे, गुणाकार घटक ${\displaystyle V_{\text{s}}}$ च्या मोठेपणा आणि टप्प्यातील फरक दर्शवते ${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$ च्या सापेक्ष ${\displaystyle V_{\text{P}}}$ आणि ${\displaystyle \theta .}$

ध्रुवीय समन्वय स्वरूपात, ते आहे:

कॉम्प्लेक्स इम्पेडन्स नावाचे प्रमाण हे दोन फॅसरचे गुणोत्तर आहे, जे फॅसर नाही, कारण ते सायनसॉइडली भिन्न कार्याशी संबंधित नाही.

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

phasors सह, DC सर्किट सोडवण्याचे तंत्र रेखीय AC सर्किट्स सोडवण्यासाठी लागू केले जाऊ शकते. चुका उधृत करा: <ref> चुकीचा कोड; निनावी संदर्भांमध्ये माहिती असणे गरजेचे आहे

प्रतिरोधकांसाठी ओमचा नियम

रेझिस्टरला वेळ नसतो आणि त्यामुळे सिग्नलचा टप्पा बदलत नाही म्हणून V = IR वैध राहते.

रेझिस्टर, इंडक्टर्स आणि कॅपेसिटरसाठी ओमचा नियम

V = IZ where Z is the complex impedance.

किर्चहॉफचे सर्किट कायदे

जटिल फॅसर म्हणून व्होल्टेज आणि करंटसह कार्य करा.

AC सर्किटमध्ये आपल्याकडे रिअल पॉवर ( P ) असते जी सर्किटमधील सरासरी पॉवर आणि रिऍक्टिव्ह पॉवर ( Q ) चे प्रतिनिधित्व करते जी पॉवर पुढे आणि मागे वाहते असल्याचे दर्शवते. आपण जटिल शक्ती S = P + jQ आणि S चे परिमाण असलेली स्पष्ट शक्ती देखील परिभाषित करू शकतो. फासर्समध्ये व्यक्त केलेल्या एसी सर्किटसाठी पॉवर लॉ म्हणजे S = VI^* (जेथे I^* हा I चा जटिल संयुग्मित आहे, आणि व्होल्टेज आणि करंट फॅसर V आणि I चे परिमाण हे व्होल्टेज आणि करंटची RMS मूल्ये आहेत, अनुक्रमे).

हे दिल्यास आम्ही रेझिस्टर, कॅपेसिटर आणि इंडक्टर्स असलेल्या सिंगल फ्रिक्वेन्सी लिनियर एसी सर्किट्सचे विश्लेषण करण्यासाठी फॅसरसह रेझिस्टिव्ह सर्किट्सच्या विश्लेषणाचे तंत्र लागू करू शकतो. विविध वेव्हफॉर्म्ससह मल्टिपल फ्रिक्वेन्सी लीनियर एसी सर्किट्स आणि एसी सर्किट्सचे विश्लेषण व्होल्टेज आणि करंट्स शोधण्यासाठी सर्व वेव्हफॉर्म्सना साइन वेव्ह घटकांमध्ये रूपांतरित करून ( फूरियर सिरीज वापरून) परिमाण आणि फेजसह केले जाऊ शकते आणि नंतर सुपरपोझिशन प्रमेयाने परवानगी दिल्याप्रमाणे प्रत्येक वारंवारतेचे स्वतंत्रपणे विश्लेषण केले जाऊ शकते. ही सोल्यूशन पद्धत केवळ साइनसॉइडल असलेल्या इनपुटवर आणि स्थिर स्थितीत असलेल्या सोल्यूशन्ससाठी लागू होते, म्हणजे, सर्व ट्रान्झिएंट्स संपल्यानंतर. ^[१४]

विद्युत प्रतिबाधाचे प्रतिनिधित्व करण्यात ही संकल्पना वारंवार गुंतलेली असते. या प्रकरणात, फेज अँगल हा प्रतिबाधावर लागू होणारा व्होल्टेज आणि त्यातून चालवलेला विद्युत् प्रवाह यांच्यातील फेज फरक आहे.

थ्री फेज एसी पॉवर सिस्टीमच्या विश्लेषणामध्ये, सामान्यत: फॅसोर्सचा संच तीन जटिल घनमूळ युनिटी म्हणून परिभाषित केला जातो, ग्राफिकरित्या 0, 120 आणि 240 अंशांच्या कोनात एकक परिमाण म्हणून दर्शविला जातो. पॉलीफेस एसी सर्किटच्या प्रमाणांना फॅसर मानून, संतुलित सर्किट्स सरलीकृत केल्या जाऊ शकतात आणि असंतुलित सर्किट्सला सममितीय घटकांचे बीजगणितीय संयोजन मानले जाऊ शकते. हा दृष्टीकोन व्होल्टेज ड्रॉप, पॉवर फ्लो आणि शॉर्ट-सर्किट करंट्सच्या इलेक्ट्रिकल गणनेमध्ये आवश्यक काम मोठ्या प्रमाणात सुलभ करतो. पॉवर सिस्टम विश्लेषणाच्या संदर्भात, फेज कोन बहुतेक वेळा अंशांमध्ये दिला जातो आणि सायनसॉइडच्या शिखर मोठेपणाऐवजी rms मूल्यामध्ये परिमाण दिले जाते.

सिंक्रोफासर्सचे तंत्र ट्रान्समिशन नेटवर्कमधील व्यापक बिंदूंवर ट्रान्समिशन सिस्टम व्होल्टेजचे प्रतिनिधित्व करणारे फॅसर मोजण्यासाठी डिजिटल साधनांचा वापर करते. फॅसरमधील फरक पॉवर फ्लो आणि सिस्टम स्थिरता दर्शवतात.

फॅसर वापरून फिरणारे फ्रेम चित्र हे अॅम्प्लीट्यूड मॉड्युलेशन (आणि त्याचे प्रकार ^[१५] ) आणि फ्रिक्वेन्सी मॉड्युलेशन यांसारखे अॅनालॉग मॉड्युलेशन समजून घेण्यासाठी एक शक्तिशाली साधन असू शकते.

जेथे कंसातील संज्ञा कॉम्प्लेक्स प्लेनमध्ये फिरणारा वेक्टर म्हणून पाहिली जाते.

फासरची लांबी असते ${\displaystyle A}$, च्या दराने घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने फिरते ${\displaystyle f_{0}}$ क्रांती प्रति सेकंद, आणि वेळी ${\displaystyle t=0}$ चा कोन बनवतो ${\displaystyle \theta }$ सकारात्मक वास्तविक अक्षाच्या संदर्भात.

तरंग ${\displaystyle x(t)}$ नंतर या सदिशाचे वास्तविक अक्षावर प्रक्षेपण म्हणून पाहिले जाऊ शकते.

• एएम मॉड्युलेशन: फ्रिक्वेंसीच्या एकाच टोनचा फासर आकृती ${\displaystyle f_{m}}$
• एफएम मॉड्युलेशन: अॅम्प्लीट्यूडच्या एकाच टोनचा फासर आकृती ${\displaystyle A_{m}}$

1. ^ Huw Fox; William Bolton (2002). Mathematics for Engineers and Technologists. Butterworth-Heinemann. p. 30. ISBN 978-0-08-051119-1.
2. ^ Clay Rawlins (2000). Basic AC Circuits (2nd ed.). Newnes. p. 124. ISBN 978-0-08-049398-5.
3. ^ Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
4. ^ K. S. Suresh Kumar (2008). Electric Circuits and Networks. Pearson Education India. p. 272. ISBN 978-81-317-1390-7.
5. ^ Kequian Zhang; Dejie Li (2007). Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics (2nd ed.). Springer Science & Business Media. p. 13. ISBN 978-3-540-74296-8.
6. ^ ^{a b c} J. Hindmarsh (1984). Electrical Machines & their Applications (4th ed.). Elsevier. p. 58. ISBN 978-1-4832-9492-6. चुका उधृत करा: अवैध <ref> tag; नाव "Hindmarsh2014" वेगवेगळ्या मजकूराशी अनेकदा जोडलेले आहे
7. ^ ^{a b} Gross, Charles A. (2012). Fundamentals of electrical engineering. Thaddeus Adam Roppel. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC 863646311.
8. ^ William J. Eccles (2011). Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals. Morgan & Claypool Publishers. p. 51. ISBN 978-1-60845-668-0.
9. ^ ^{a b} Richard C. Dorf; James A. Svoboda (2010). Introduction to Electric Circuits (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 661. ISBN 978-0-470-52157-1. चुका उधृत करा: अवैध <ref> tag; नाव "DorfSvoboda2010" वेगवेगळ्या मजकूराशी अनेकदा जोडलेले आहे
10. ^ Allan H. Robbins; Wilhelm Miller (2012). Circuit Analysis: Theory and Practice (5th ed.). Cengage Learning. p. 536. ISBN 978-1-285-40192-8.
11. ^ ^{a b c} Won Y. Yang; Seung C. Lee (2008). Circuit Systems with MATLAB and PSpice. John Wiley & Sons. pp. 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1. चुका उधृत करा: अवैध <ref> tag; नाव "YangLee2008" वेगवेगळ्या मजकूराशी अनेकदा जोडलेले आहे
12. ^ Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Electric circuits (8th ed.). Prentice Hall. p. 338. ISBN 978-0-13-198925-2., Chapter 9, page 338
13. ^ Singh, Ravish R (2009). "Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities". Electrical Networks. Mcgraw Hill Higher Education. p. 4.13. ISBN 978-0070260962.
14. ^ Clayton, Paul (2008). Introduction to electromagnetic compatibility. Wiley. p. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.
15. ^ de Oliveira, H.M. and Nunes, F.D. About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364

चुका उधृत करा: "lower-alpha" नावाच्या गटाकरिता <ref>खूणपताका उपलब्ध आहेत, पण संबंधीत <references group="lower-alpha"/> खूण मिळाली नाही.