डकवर्थ-लुईस-स्टर्न पद्धत

डकवर्थ-लुईस-स्टर्न पद्धत (DLS) ही एक गणितीय सूत्र आहे जी हवामान किंवा इतर परिस्थितीमुळे व्यत्यय आलेल्या मर्यादित षटकांच्या क्रिकेट सामन्यात दुसऱ्या डावात फलंदाजी करणाऱ्या संघासाठी विजयी लक्ष्य (जिंकण्यासाठी आवश्यक धावांची संख्या) मोजण्यासाठी डिझाइन केलेली आहे. फ्रँक डकवर्थ आणि टोनी लुईस या दोन इंग्लिश संख्याशास्त्रज्ञांनी ही पद्धत तयार केली होती, आणि पूर्वी डकवर्थ-लुईस पद्धत (D/L) म्हणून ओळखली जात होती.^[१] ही पद्धत १९९७ मध्ये सादर केली गेले आणि १९९९ मध्ये आयसीसीने अधिकृतपणे स्वीकारली. डकवर्थ आणि लुईस यांच्या निवृत्तीनंतर, प्रोफेसर स्टीव्हन स्टर्न या पद्धतीचे संरक्षक बनले आणि नोव्हेंबर २०१४ मध्ये तिचे सध्याच्या शीर्षकामध्ये नामकरण करण्यात आले.^[२][३]

कोणत्याही व्यत्ययाशिवाय क्रिकेट सामन्यांमध्ये धावसंख्येचे लक्ष्य हे प्रथम फलंदाजी करणाऱ्या संघाने केलेल्या धावसंख्येपेक्षा एकने जास्त असते. जेव्हा षटके गमावली जातात, तेव्हा दुसऱ्यांदा फलंदाजी करणाऱ्या संघासाठी समायोजित लक्ष्य निर्धारित करणे हे कमी झालेल्या षटकांच्या प्रमाणात धावांचे लक्ष्य कमी करणे तितके सोपे नसते, कारण उदाहरणार्थ दहा विकेट्स आणि पूर्ण ५० षटके खेळण्यास मिळाली असता त्यापेक्षा दहा गडी बाकी असताना आणि २५ षटके फलंदाजी करणारा संघ अधिक आक्रमकपणे खेळून परिणामी उच्च धावगती मिळवू शकतो. DLS पद्धत ही दुसऱ्या संघाच्या डावासाठी सांख्यिकीयदृष्ट्या योग्य लक्ष्य निर्धारित करण्याचा प्रयत्न आहे, जे मूळ लक्ष्याप्रमाणेच अवघड आहे. मूलभूत तत्त्व असे आहे की मर्यादित षटकांच्या सामन्यातील प्रत्येक संघाकडे धावा काढण्यासाठी दोन संसाधने उपलब्ध असतात (खेळण्यासाठी षटके आणि विकेट्स शिल्लक) आणि लक्ष्य या दोन संसाधनांच्या संयोजनातील बदलाच्या प्रमाणात समायोजित केले जाते.

पावसामुळे प्रभावित क्रिकेट सामन्यांचे निराकरण करण्यासाठी यापूर्वी विविध पद्धती वापरल्या गेल्या होत्या, ज्यात सर्वात सामान्य म्हणजे सरासरी धावगती पद्धत आणि नंतर, सर्वाधिक उत्पादक षटकांची पद्धत.

ह्या पद्धती, जरी सोप्या होत्या, तरीही त्यात अंगभूत त्रुटी होत्या आणि त्या सहज गैरफायदा उचलता येण्याजोग्या होत्या:

• सरासरी धावगती पद्धतीमध्ये दुसऱ्या क्रमांकावर फलंदाजी करणाऱ्या संघाने किती गडी गमावले याचा कोणताही हिशेब घेतला जात नाही, तर सामना खंडित झाल्यावर त्यांची फक्त धावगती दर्शवतो. जर संघाला पाऊस थांबण्याची शक्यता वाटत असेल, तर ते संबंधित विकेट्सच्या संभाव्य नुकसानाचा विचार न करता धावसंख्या वाढवण्याचा प्रयत्न करू शकतात, याचा अर्थ पहिल्या संघाशी कोणतीही तुलना सदोष असेल.
• सर्वाधिक उत्पादक षटकांच्या पद्धतीमध्ये दुसऱ्या क्रमांकावर फलंदाजी करणाऱ्या संघाने गमावलेल्या विकेट्सचाही हिशेब घेतला नाही आणि पुढे, सुधारित लक्ष्य सेट करताना त्यांच्या सर्वोत्तम षटकांकडे दुर्लक्ष करून चांगल्या गोलंदाजीसाठी दुसऱ्या क्रमांकावर फलंदाजी करणाऱ्या संघाला प्रभावीपणे दंड ठोठावला जातो.
• या दोन्ही पद्धतींनी सुधारित लक्ष्ये देखील तयार केली जातात ज्यामुळे वारंवार सामन्याचा समतोल बदलला जातो आणि त्यांनी व्यत्ययाच्या वेळी सामन्याची परिस्थिती लक्षात घेतली जात नाही.

१९९२ विश्वचषकातील इंग्लंड आणि दक्षिण आफ्रिका, जिथे सर्वाधिक उत्पादक षटकांची पद्धत वापरली गेली, यांच्यातील उपांत्य फेरीच्या निकालाच्या परिणामी, डकवर्थ लुईस पद्धत दोन ब्रिटिश सांख्यिकीशास्त्रज्ञ फ्रँक डकवर्थ आणि टोनी लुईस यांनी तयार केली होती.

पावसामुळे खेळ १२ मिनिटांसाठी थांबला तेव्हा दक्षिण आफ्रिकेला १३ चेंडूत २२ धावांची गरज होती, पण जेव्हा खेळ पुन्हा सुरू झाला तेव्हा सुधारित लक्ष्यासाठी दक्षिण आफ्रिकेला एका चेंडूत २१ धावांची गरज होती, दोन षटकांच्या कपातीच्या तुलनेत केवळ एक धाव कमी होती. एका चेंडूवर जास्तीत जास्त धावसंख्या साधारणपणे सहा धावांची असते, त्यामुळे हे अक्षरशः अशक्य असे लक्ष्य होते.^[४]

डकवर्थ म्हणाले, "मला रेडिओवर क्रिस्टोफर मार्टिन-जेनकिन्स यांनी म्हटलेले आठवते, 'नक्कीच कोणीतरी, कुठेतरी काहीतरी चांगला उपाय करू शकतो' आणि मला लवकरच समजले की ही एक गणितीय समस्या आहे ज्यासाठी गणिती उपाय आवश्यक आहे."^[५][६]

डकवर्थ लुईस पद्धत ही त्रुटी टाळते: या सामन्यात, २३६ च्या सुधारित ड/लु लक्ष्यामुळे दक्षिण आफ्रिकेला अंतिम चेंडूवर विजयासाठी पाच किंवा सामना बरोबरीत सोडावण्यासाठी चार धावांची गरज असती.^[७]

१ जानेवारी १९९७ रोजी, झिम्बाब्वे विरुद्ध इंग्लंड एकदिवसीय मालिकेतील दुसऱ्या सामन्यात आंतरराष्ट्रीय क्रिकेटमध्ये ड/लु पद्धत प्रथम वापरली गेली, जी झिम्बाब्वेने सात धावांनी जिंकली.^[८] पावसामुळे कमी झालेल्या एकदिवसीय सामन्यांमध्ये निर्धारित धावसंख्या मोजण्याची मानक पद्धत म्हणून १९९९ मध्ये आंतरराष्ट्रीय क्रिकेट समितीद्वारे ड/लु पद्धत औपचारिकपणे स्वीकारली गेली.

डकवर्थ लुईस पद्धतीचा पाया 'संसाधने' आहेत. शक्य तितक्या धावा करण्यासाठी प्रत्येक संघाकडे दोन 'संसाधने' आहेत: त्यांना किती षटके मिळणार आहेत; आणि त्यांच्या हातात असलेल्या विकेट्सची संख्या. कोणत्याही डावात कोणत्याही टप्प्यावर, संघाची अधिक धावा करण्याची क्षमता त्याच्याकडे असलेल्या या दोन संसाधनांच्या संयोजनावर अवलंबून असते. ऐतिहासिकदृष्ट्या पाहता, संसाधनांची उपलब्धता आणि संघाची अंतिम धावसंख्या यांचा परस्परांत जवळचा संबंध असतो, ज्याचा उपयोग डकवर्थ लुईस पद्धतीमध्ये पूर्णपणे केला जातो.^[९]

डकवर्थ लुईस पद्धत षटके (किंवा, अधिक अचूकपणे, चेंडू) आणि शिल्लक राहिलेल्या विकेट्सचे संयुक्तरित्या उर्वरित संसाधानाच्या टक्केवारीत (५० षटके आणि १० विकेट्स = १००% सह) रूपांतर करते आणि हे सर्व प्रकाशित टेबलमध्ये किंवा संगणकामध्ये संग्रहित केले जातात. जेव्हा सामना एक किंवा अधिक वेळा लहान केला जातो, तेव्हा एक किंवा दोन्ही संघांच्या संसाधनांचे नुकसान प्रतिबिंबित करण्यासाठी, दुसऱ्या क्रमांकावर फलंदाजी करणाऱ्या संघासाठी ('संघ २') लक्ष्य धावसंख्या ही संसाधन टक्केवारी वापरून प्रथम फलंदाजी करणाऱ्या संघाने ('संघ १') मिळवलेल्या एकूण धावसंख्येच्या वर किंवा खाली समायोजित केली जाऊ शकते.

आंतरराष्ट्रीय आणि प्रथम-श्रेणी सामन्यांमध्ये ('व्यावसायिक संस्करण') सामान्यतः वापरल्या जाणाऱ्या डकवर्थ-लुईस पद्धतीच्या आवृत्तीमध्ये, संघ २ चे लक्ष्य ठरविण्याकरीता फक्त दोन संघांची संसाधने विचारात घेतली जातात, म्हणजेच.

${\displaystyle {\text{Team 2's par score }}={\text{ Team 1's score}}\times {\frac {\text{Team 2's resources}}{\text{Team 1's resources}}}.}$

सामान्यतः, लक्ष्य धावसंख्या ही पूर्णांक नसेल, तर संघ २ चे विजयाचे लक्ष्य हे पुढील पूर्णांकाएवढे असते आणि बरोबरीची धावसंख्या ही संख्या आधीच्या पूर्णांकाएवढी निश्चित केली जाते. जर संघ२ ने लक्ष्य असलेली धावसंख्या गाठली किंवा पार केला, तर तो संघ सामना जिंकतो. जर संघ२ लक्ष्य असलेली धावसंख्या पार करू शकला नाही परंतु सामान धावा करू शकला तर सामना बरोबरीत सुटतो. जर संघ २ समान धावसंख्येपर्यंत पोहोचू शकला नाही तर त्यांचा प्रभाव होतो.

उदाहरणार्थ, पावसामुळे उशीर झाल्यास संघ२ कडे फक्त ९०% संसाधने उपलब्ध आहेत आणि संघ१ ने १००% संसाधनांसह २५४ धावा केल्या, तर २५४ × ९०% / १००% = २२८.६, म्हणून संघ२ चे लक्ष्य २२९ असेल आणि बरोबरी करण्यासाठी २२८ धावांची गरज असेल. व्यवसायिक सामन्यांमध्ये वापरात येणारी वास्तविक संसाधन मूल्ये सार्वजनिकरित्या उपलब्ध नाहीत,^[१०] म्हणून हे सॉफ्टवेर असलेले केलेले संगणक वापरणे आवश्यक आहे.

जर हा ५० षटकांचा सामना असेल आणि संघ १ ने आपला डाव विना अडथळा पूर्ण केला, तर त्यांच्याकडे १००% संसाधने उपलब्ध होती, त्यामुळे सोपे सूत्र अशाप्रकारे असेल:

${\displaystyle {\text{Team 2's par score }}={\text{ Team 1's score}}\times {\text{Team 2's resources}}.}$

• पहिला डाव सुरू होण्यास उशीर झाला असता, दोन्ही डावातील षटकांची संख्या कमी केली जाते, मग ड/लु लक्ष्य धावसंख्येमध्ये कोणताही बदल करत नाही, कारण दोन्ही बाजूंना त्यांच्या संपूर्ण डावातील एकूण षटके आणि विकेट्स, याची जाणीव असते. अशा प्रकारे त्यांच्याकडे समान संसाधने उपलब्ध असतात.
• संघ २ चे लक्ष्य संघ १ चा डाव संपल्यानंतर निर्धारित केले जाते.
• जर संघ १ च्या डावात व्यत्यय आला असेल किंवा संघ १ ची षटके कमी करण्यात आली असतील, तर त्यामुळे संघ २ च्या डावातील षटकांची संख्या (संघ १ इतकीच) कमी केली जाते, त्यानंतर डकवर्थ/लुईस नुसार वर वर्णन केल्याप्रमाणे संघ २ चे लक्ष्य निर्धारित केले जाते. संघ १ च्या डावात व्यत्यय आल्यानंतर संघ २ ची लक्ष्य धावसंख्या ही बहुदा जास्तच असते, याचा अर्थ संघ १ पेक्षा संघ २ कडे जास्त संसाधने उपलब्ध आहेत. दोन्ही संघांकडे १० विकेट्स आणि समान (कमी केलेल्या) षटकांची संख्या उपलब्ध असली, तरी ही वाढ योग्य अशी असते कारण, डावामधील काही शतके होईपर्यंत, संघ १ च्या "विचारानुसार" त्यांच्याकडे प्रत्यक्षात संपलेल्यापेक्षा जास्त षटके उपलब्ध आहेत.

जर संघ १ ला माहित असते की त्यांचा डाव लहान होणार आहे, तर त्यांनी जलद फलंदाजी करून आणि (अधिक विकेट्स खर्च करून) जास्त धावा करण्याचा प्रयत्न केला असता. त्यांनी जी षटके रद्द करण्यात आली ती आधीच माहित नसल्यामुळे अशा षटके अधिक योग्य रीतीने वापरन्यासाठी कमी विकेट्स खर्च केले, जे करण्याची संघ २ ला गरज नाही, म्हणून संघ २ कडे समान षटकांमध्ये वापरण्यासाठी अधिक संसाधने (विकेट्स) आहेत. त्यामुळे, टीम २ चे लक्ष्य वाढवल्याने टीम १ ला काही षटके नाकारल्याबद्दल भरपाई मिळते, जी त्यांना खेळता येतील असे वाटले असेल. डकवर्थ लुईसनुसार वाढलेले लक्ष्य हे, संघ १ ला त्यांचा डाव किती षटकांचा आहे, डाव सुरू करण्याआधीच माहित असताना केलेल्या धावांइतके असते.

उदाहरणार्थ, जर संघ १ ने पाऊस येण्यापूर्वी २० षटके फलंदाजी केली, त्यावेळी त्यांचा असा समज होता की त्यांना संपूर्ण ५० शतके खेळावयास मिळतील, परंतु सामन्यास पुन्हा सुरुवात करताना संघ २ कडे २० षटके खेळण्याइतकाच वेळ असेल, तर संघ २ ला संघ १ ने साध्य केलेले लक्ष्य देणे हे स्पष्टपणे अन्यायकारक ठरेल. कारण जर संघ १ ला त्यांच्याकडे केवळ खेळण्यासाठी २० षटकेच आहेत हे आधीच माहित असते तर त्यांनी अधिक जलद फलंदाजी करून जास्त धावा केल्या असत्या.

• संघ २ च्या डावात व्यत्यय आल्यास, एकतर तो सुरू होण्यापूर्वी, दरम्यान किंवा तो कमी केला गेला असेल, तर डकवर्थ लुईसनुसार संघ १ च्या डावाच्या शेवटी निर्धारित केलेल्या प्रारंभिक लक्ष्यापेक्षा संघ २ चे लक्ष्य त्यांच्या संसाधनांमधील कपातीचे प्रमाणात कमी असेल. दुसऱ्या डावात अनेक व्यत्यय आल्यास, लक्ष्य प्रत्येक वेळी कमी केले जाते.
• जर काही व्यत्यय असतील जे लक्ष्य वाढवत आणि कमी करत असतील, तर लक्ष्यावरील निव्वळ परिणाम हा कोणते व्यत्यय मोठे होते ह्यावरून कमी किंवा जास्त होऊ शकतो.

मूळ ड/लु मॉडेल असे गृहीत धरून चालू झाले की, खालील घातांकीय क्षय संबंध घेऊन, आवश्यक धावा (${\displaystyle Z}$) ह्या उर्वरित षटकांमध्ये (${\displaystyle u}$) आणि गमावलेल्या गड्यांसाठी (${\displaystyle w}$) केल्या जाऊ शकतात:^[११]

${\displaystyle Z(u,w)=Z_{0}(w)\left({1-e^{-b(w)u}}\right),}$

जेथे स्थिरांक ${\displaystyle Z_{0}}$ हा (एकदिवसीय नियमांतर्गत) अमर्यादित षटकांमध्ये, असिम्प्टोटिक एकूण सरासरी धावसंख्या आहे आणि ${\displaystyle b}$ हा घातांकीय क्षय स्थिरांक आहे.

दोन्ही (फक्त) ${\displaystyle w}$सहबदलतात. 'शेकडो एकदिवसीय आंतरराष्ट्रीय सामन्यांची' धावसंख्या आणि 'विस्तृत संशोधन आणि प्रयोग' मधील स्कोअरवरून ह्या दोन्ही संज्ञांची मूल्ये ० ते ९ मधून ह्या दोन संज्ञासाठी अंदाजित आहे, जे 'व्यावसायिक गोपनीयतेमुळे' उघड केले गेले नाही.^[११]

${\displaystyle u}$ आणि ${\displaystyle w}$ च्या विशिष्ट संयोगासाठी ${\displaystyle Z}$ चे मूल्य शोधणे (विशिष्ट ${\displaystyle w}$ साठी ${\displaystyle u}$ आणि या स्थिरांकांची मूल्ये टाकून) आणि डावाच्या सुरुवातीला प्राप्त होणाऱ्या धावसंख्येने भागणे. म्हणजेच

${\displaystyle P(u,w)={\frac {Z(u,w)}{Z(u=50,w=0)}},\,}$

हे सूत्र ${\displaystyle u}$ षटके शिल्लक असताना आणि ${\displaystyle w}$ इतके गडी बाद झालेले असताना डावातील एकत्रित धावसंख्येचे प्रमाण देते.^[११] हे प्रमाण आलेखामध्ये, उजवीकडे दाखवल्याप्रमाणे, किंवा एका टेबलमध्ये खालीलप्रमाणे दाखवले जाऊ शकतात.

ही मानक आवृत्ती बनली. जेव्हा ते सादर केले गेले तेव्हा, संसाधन टक्केवारीच्या एकाच सारणीसह ड/लु लागू करणे आवश्यक होते, कारण संगणक उपस्थित असतील याची खात्री देता येत नाही. म्हणून, सरासरी संसाधने देत हे एकल सूत्र वापरले गेले. ही पद्धत वास्तविक धावसंख्येकडे दुर्लक्ष करून सरासरी कार्यप्रदर्शन सरासरीच्या प्रमाणात असते या गृहितकावर अवलंबून असते. ९५ टक्के सामन्यांमध्ये हे पुरेसे चांगले होते, परंतु अत्यंत उच्च स्कोअर असलेल्या ५ टक्के सामन्यांमध्ये, साधी पद्धत खंडित होऊ लागली. ^[१२] समस्येवर मात करण्यासाठी, एका अतिरिक्त पॅरामीटरसह अद्ययावत केलेले सूत्र प्रस्तावित केले होते ज्याचे मूल्य संघ१ च्या डावावर अवलंबून असते. ^[१३] ही व्यावसायिक आवृत्ती बनली.

द डकवर्थ लुईस मेथड हे द डिव्हाईन कॉमेडी आणि थॉमस वॉल्श यांच्या पगवॉश यांनी रेकॉर्ड केलेल्या अल्बमचे नाव आहे, ज्यात क्रिकेट विषय असलेली गाणी आहेत.^{[१४][१५]}