गुरुत्वाकर्षण

पाण्याची धार

उसळी घेणारा चेंडू

पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे वस्तू पृथ्वीकडे 'खाली' पडतात व बहुतेक पडणाऱ्या वस्तूंचे प्रक्षेपपथ परवलयाच्या आकारात असते

वस्तुमान असलेल्या कोणत्याही दोन वस्तूंच्या एकमेकांकडे आकर्षिल्या जाण्याच्या प्रवृत्तीला गुरुत्वाकर्षण असे म्हणतात. वजन म्हणजे जमिनीच्या दिशेने असणाऱ्या गुरुत्वाकर्षणामुळे मिळणारे त्वरण आणि वस्तुमान यांच्या गुणाकाराएवढे बल. या क्षेत्रात अफाट संशोधन होऊनही दूरदूर ठेवलेल्या दोन वस्तूंमध्ये गुरुत्वाकर्षण का असते हे अजूनही पूर्णपणे समजलेले नाही.

गुरुत्वाकर्षण हे विद्युतचुंबकत्व आणि नाभिकीय दृढ अंतर्प्रभाव व अदृढ अंतर्प्रभाव ह्या तिघांसोबत प्रकृतीतील चार मूलभूत अंतःप्रभावांमधील एक आहे. गुरुत्वाकर्षणाला गणितीय सूत्रात बसवण्यात प्रथम आयझॅक न्यूटन यशस्वी ठरला. त्याने न्यूटनचा वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम मांडला. गुरुत्वाकर्षणाच्या न्यूटनच्या नियमांची जागा आता अल्बर्ट आइनस्टाइनच्या साधारण सापेक्षता सिद्धान्ताने घेतली आहे. न्यूटनचे नियम प्रकाशापेक्षा फार कमी वेग असणाऱ्या वस्तूंसाठी पुरेसे अचूक आहेत. यासाठी ते नियम अजूनही बहुतेक जागी लागू होतात.

विश्वनिर्मितीच्या दृष्टिकोनातून पाहिले, तर गुरुत्वाकर्षणामुळे पसरलेले पदार्थ संगठित होऊन अखंड राहतात. त्यामुळेच ग्रह, तारे व दीर्घिकांसारख्या स्थूल वस्तू बनतात. पृथ्वी व इतर ग्रहांच्या सूर्याभोवती, चंद्राची पृथ्वीभोवती अश्या कक्षासुद्धा गुरुत्वाकर्षणामुळेच कायम असतात. संवहन व भरती-ओहोटी अशा पृथ्वीवर पाहिल्या जाणाऱ्या घटनांपासून ते तारकांच्या आंतरिक भागांमधील उष्णतेसारख्या घटनांपर्यंत भरपूर गोष्टींमध्ये गुरुत्वाकर्षणाचा वाटा आहे.

अ‍ॅरिस्टॉटलची अशी कल्पना होती की जड वस्तू हलक्या वस्तूंपेक्षा अधिक वेगाने खाली पडतात. त्याच्या मतानुसार पृथ्वीचे केंद्र (जे विश्वाचेही केंद्र मानले जात होते) ते जड वस्तूंना आकर्षित करते. जेवढी वस्तू जड, तेवढे जास्त आकर्षण असते. ही कल्पना पुढे चुकीची असल्याचे सिद्ध झाले.

ज्यामुळे पृथ्वी सर्व वस्तू तिच्या पृष्ठभागावर ओढून ठेवते, आणि म्हणून सर्व विश्व सुरळीतपणे काम करते अशा पृथ्वीच्या केंद्राकडे ओढणाऱ्या बलाची कल्पना टॉलेमीला होती.

७व्या शतकामधील भारतीय गणितज्ञ व खगोलशास्त्रज्ञ ब्रह्मगुप्त ह्याच्या मते पृथ्वी गोलाकार होती. हा दृष्टिकोन तत्कालीन पृथ्वी सपाट अथवा पोकळ असल्याच्या पौराणिक दृष्टिकोनाच्या विपरीत होता. ब्रह्मगुप्ताने सांगितल्या प्रमाणे :

"परंतु तसे [पृथ्वी गोल] नसल्यास पृथ्वी स्वर्गाच्या व वेळेच्या प्रणांशी एकविध व समान गती ठेवण्यास असफल राहील. [...] सर्व भारी वस्तू पृथ्वीच्या केंद्राकडे आकर्षित होतात. [...] पृथ्वी सर्व बाजूने समान आहे; पृथ्वीवर सगळे जण सरळ उभे राहतात, आणि प्रकृतीच्या नियमानुसार सगळ्या भारी वस्तू पृथ्वीकडे खाली पडतात, कारण वस्तूंना आकर्षित करणे व जवळ ठेवणे ही पृथ्वीची प्रवृत्ती आहे, जशी पाण्याची वाहण्याची, अग्नीची जळण्याची व वाऱ्याची वाहण्याची प्रवृत्ती आहे. [...] पृथ्वी ही एकमेव खालची वस्तू आहे व वस्तू नेहमी तिच्याकडे परत येतात; तुम्ही त्यांना कोणत्याही दिशेत फेका, त्या कधी पृथ्वीपासून वरती जात नाहीत."^[१]

११व्या शतकातील गणितज्ञ भास्कराचार्याने आपल्या 'सिद्धान्त शिरोमणि' ह्या ग्रंथात लिहिले:

"आकृष्टशक्तिश्च मही तया यत् खस्थं गुरुस्वाभिमुखः स्वशक्त्या।

आकृष्ट्यते तत्पततीव भाति समेसमान्तान् क्व पतत्त्वियं खे॥"^[२]

ह्या पद्यानुसार पृथ्वी मध्ये आकर्षणाची शक्ती आहे. ह्या शक्तीमुळे ती भारी वस्तूंना आपल्याकडे खेचते व ह्यामुळेच वस्तू जमिनीवर पडतात. व पुढे म्हणले आहे की अंतराळातल्या वस्तूंमध्ये समान आकर्षण शक्ति असेल तर ते सर्व कुठेही 'पडू' शकत नाहीत. ^[३]

गॅलिलिओ याने १६व्या शतकाच्या शेवटी आणि १७व्या शतकाच्या प्रारंभीच्या काळात गुरुत्वाकर्षणाबद्दल आपली मते मांडली. उंचावरून टाकलेले लहान मोठ्या आकाराचे दगड कसे एकाच वेळी आणि सरळ रेषेत खाली पडतात, उतारावरून गोल वस्तू कशा गडगडत खाली येतात आणि जोराने हवेत भिरकावल्यावर कुठलीही वस्तू कशा प्रकारच्या वक्ररेषेत पुढे जात जात खाली येते या सगळ्या क्रियांचे त्याने अत्यंत बारकाईने निरीक्षण केले. छपराला लटकणारे दिवे कसे लयीमध्ये झुलतात ते पाहिले आणि त्या दिव्यांचा झोका लहान असो वा मोठा. त्याला तितकाच वेळ लागतो हे सिद्ध केले. घोड्याच्या मदतीने चालणारा पाणी उपसण्याचा पंप आणि पाण्याच्या दाबावर काम करणारा तराजू अशा प्रकारची उपकरणे त्याने बनवली. पृथ्वीच्या गिरकीमुळे समुद्रात लाटा उठत असाव्यात अशा अर्थाचा एक विचार त्याने मांडला होता, पण गुरुत्वाकर्षणाचा शोध लागल्यावर लाटांचे खरे रहस्य जगाला कळले आणि तो विचार मागे पडला. ^{[ संदर्भ हवा ]}

१५७४ मध्ये टिको ब्राहे ह्या खगोलशास्त्रज्ञाने प्रसिद्ध केलेल्या ग्रह-ताऱ्यांच्या निरीक्षणाचा सखोल अभ्यास करून योहानेस केप्लरने प्रथमच ग्रहांच्या कक्षांबद्दलचे नियम सूत्ररूपाने मांडले आणि सप्रयोग सिद्ध केले. ते नियम खालीलप्रमाणे आहेत:

1. 1)सर्व ग्रहांच्या कक्षा लंबवर्तुळाकार असून सूर्य त्या लंबवर्तुळाच्या एका नाभीबिंदूवर (focus) असतो.

2) ग्रह व सूर्य यांना जोडणारी सरळ रेषा समान कालावधीमध्ये समान क्षेत्रफळ व्यापन करते . 3)सूर्याची परिक्रमा करणाऱ्या ग्रहांच्या आर्वतकालाचा वर्ग हा ग्रहाच्या सूर्यारासूनच्या सरासरी अंतराच्या घनाला समानुपाती असतो. केप्लर पूर्वीनिकोलस कोपर्निकस ह्याने सूर्यमाला सूर्यकेंद्रित असल्याचा प्रस्ताव मांडला होता. परंतु त्याच्या मताप्रमाणे पृथ्वीची व इतर ग्रहांची सूर्याभोवती फिरण्याची कक्षा वर्तुळाकार होती. मंगळ ग्रहाच्या कक्षेचे आठ वर्ष विश्लेषण करून^[४] केप्लरने ह्या कक्षा लंबवर्तुळाच्या आहेत अशी संकल्पना मांडून सर्व ग्रहांना एकसारखे लागू होणारे असे हे नियम बनवले.^[५] केप्लरचे असे मत होते की सूर्याच्या कोणत्यातरी 'रहस्यमय' शक्तीमुळे ग्रहांची कक्षा टिकून राहते. त्याच्या असे ही ध्यानात आले की ग्रह जेव्हा सूर्यापासून लांब असतात तेव्हा त्यांचा वेग कमी होतो, व म्हणूनच ही शक्ती वाढणाऱ्या अंतराबरोबर कमी होत असणार. ह्याच संकल्पनेत न्यूटनने पुढे सुधारणा केली. ^[६]

. आपल्या १६८७ मध्ये लिहिलेल्या 'प्रिन्सिपिया' ह्या ग्रंथात न्यूटनने वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाच्या नियमाची परिकल्पना मांडली. त्याच्या स्वतःच्या शब्दांत:

मी असा तर्क केला की जी बले ग्रहांना आपल्या गोलकात ठेवतात, ती बले परिक्रमणाच्या केंद्रापासूनच्या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात नक्की [असावीत]: आणि या प्रकारे मी चंद्राला पृथ्वीभोवतीच्या गोलकात ठेवायला लागणाऱ्या बलाची तुलना पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या गुरुत्वाकर्षणाशी केली; आणि त्याचे नीटनेटके उत्तर मिळाले.^[७]

न्यूटनचा वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम खालीलप्रमाणे आहे:

वस्तुमान

थोडक्यात काय तर वस्तुमानांचा गुणाकार जास्त असेल तर गुरुत्वाकर्षण जास्त आणि गुणाकार कमी असेल तर कमी. याउलट जर दोन वस्तुमानांमधील अंतरांच्या मोजमापाचा वर्ग जास्त, तर गुरुत्वाकर्षण कमी, आणि वर्ग कमी असेल तर गुरुत्वाकर्षण अधिक.

न्यूटनच्या ह्या सिद्धान्ताचा सर्वात मोठा विजय नेपच्यूनच्या शोधाच्या रूपात ठरला. यूरेनसच्या कक्षेत असणाऱ्या विसंगती निरखून नेपच्यूनच्या अस्तित्वाची व स्थानाची भविष्यवाणी जॉन काउच ॲडम्स् व यूर्बॅं ल वेर्ये यांनी केली.

कमी वेग आणि ऊर्जा असलेल्या वस्तुमानांसंबंधित असापेक्षीय गणनांसाठी न्यूटनचा नियम जवळजवळ अचूक ठरतो. हा नियम वापरून अंतराळयानांचे प्रक्षेपपथ सुद्धा बऱ्यापैकी अचूक काढणे शक्य आहे. असे असले तरीही सापेक्षीय गणनांसाठी ह्या नियमाने बरोबर उत्तर येत नाही. एक महत्त्वाचे उदाहरण म्हणजे बुध ग्रहाच्या कक्षेतील छोट्या विसंगती. १९व्या शतकाच्या अंतापर्यंत हे माहीत होते की बुधाच्या कक्षेतील जे काही क्षोभ होते ते न्यूटनच्या नियमाचा आधार घेऊन हिशेबात घेणे शक्य नव्हते, व म्हणून असे मानले जायचे की बुधाच्याहूनही सूर्याच्या जवळ एक प्रक्षोभकारी वस्तू असावी. ह्या वस्तूचा शोध निष्फळ राहिला. अल्बर्ट आइनस्टाइनच्या सापेक्षता सिद्धान्ताने हे क्षोभ हिशेबात घेतले. परंतु असे असले तरीही बहुतेक जागी न्यूटनचाच नियम वापरण्यात येतो कारण तो वापरण्यात फार सोपा आहे आणि तो वापरून नीटनेटके उत्तरही मिळते.

साधारण सापेक्षता

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R}$ ${\displaystyle +g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$ आइनस्टाइनचे क्षेत्र समीकरण

प्रस्तावना गणिती सूत्रीकरण स्रोत मूलभूत संकल्पना विशेष सापेक्षता समानतेचे तत्त्व जग रेषा · रायमनियन भूमिती घटना केप्लर समस्या · भिंगे · तरंग चौकट-कर्षणणे · भूपृष्ठमितीय परिणाम घटना क्षितीज · संविशेषता कृष्ण विवर समीकरणे रेषीयकरणीत गुरुत्व न्यूटनोत्तर आकारवाद आइनस्टाइनचे क्षेत्र समीकरण फ्राइडमनचे समीकरण एडीएम आकारवाद बीएसएसएन आकारवाद उच्च सिद्धान्त कलुझा-क्लाइन पुंज गुरुत्व उकली श्वार्त्सषिल्ट राइस्नर-नॉर्ड्श्ट्रॉम · गोडेल केर · केर-न्यूमन कास्नर · टाउब-नुत · मिल्ने · रॉबर्टसन-वॉकर प्रप्र-तरंग वैज्ञानिक आइनस्टाइन · मिन्कोव्हस्की · एडिंग्टन लमॅत्र · श्वार्त्सषिल्ट रॉबर्टसन · केर · फ्रीड्मन चंद्रशेखर · हॉकिंग

समतुल्यता तत्त्वाचा मूळ अर्थ असा की सर्व वस्तू एकच प्रकारे पडतात. गुरुत्वीय क्षेत्रामधील कोणत्याही वस्तूचे प्रक्षेपपथ फक्त त्या वस्तूच्या प्रारंभिक गती व स्थानावर अवलंबून असते व वस्तूच्या स्वरूपाशी निरवलंबी असते.^[१०] साधारण सापेक्षता सिद्धान्ताची सुरुवातच ह्या समतुल्यता सिद्धान्ताने होते, आणि अल्बर्ट आइनस्टाइनप्रमाणे मुक्त पतनात कोणत्याही वस्तूवर (वातरोध सोडून) त्वरण लागत नाही, म्हणजेच ती जडत्वीय चौकटीत असते. पृथ्वीवर स्थित निरीक्षकाला स्वतःच्या त्वरणाच्या सापेक्ष त्या वस्तूवर त्वरण आहे असे वाटते.

आइनस्टाइनच्या मते गुरुत्वाकर्षण म्हणजे वस्तुमान असलेल्या कोणत्याही वस्तूने तिच्याभोवतीच्या काल-अवकाशात निर्माण केलेली वक्रता होय. ताणून धरलेल्या लवचीक पडद्यावर एखादी जड वस्तू ठेवली असता पडदा जसा त्या वस्तूभोवती थोडा वाकतो, त्याच रितीने वस्तुमान असलेली कोणतीही वस्तू तिच्याभोवतीच्या काल-अवकाशाला वाकवते (वक्रता निर्माण करते), आणि तो वाकवण्याचा गुणधर्म म्हणजेच वस्तूचे गुरुत्वाकर्षण.

मुक्त पतनात कोणतीही वस्तू वक्र काल-अवकाशात स्थानिकरीत्या सरळ पथावर चालते. ह्या पथांना अल्पिष्ट रेषा (geodesic) असे म्हणतात. जेव्हा वस्तूवर बल लागते, तेव्हा ती वस्तू त्या अल्पिष्ट रेषेपासून विचलित होते. उदाहरणतः आपण स्वतः जेव्हा पृथ्वीवर उभे राहतो तेव्हा आपण अल्पिष्ट रेषेपासून विचलित होतो. अश्या वेळी पृथ्वीचा भौतिक रोधामुळे आपल्यावर बल लागते, आणि म्हणून आपण स्वतःच जमिनीवर अजडत्वीय स्थितीत राहतो.^[११]

आइन्स्टाइनने साधारण सापेक्षतेसाठीची क्षेत्र समीकरणे शोधून काढली. ही समीकरणे वस्तुमानाचा काल-अवकाशातील वक्रतेशी संबंध जोडतात. ह्यांना आइनस्टाइनची क्षेत्र समीकरणे असे म्हणतात. ही १० एकसामायिक, अरेषीय विकलन समीकरणे आहेत. ह्यांच्या उकली म्हणजे काल-अवकाशाच्या दूरिक प्रदिशाचे घटक. दूरिक प्रदिश हा काल-अवकाशाची भूमिती रेखाटतो व त्याच्या मदतीने काल-अवकाशातील अल्पिष्ट रेषा काढू शकतो.

आइनस्टाइनची क्षेत्र समीकरणे खालीलप्रमाणे लिहिली जातात :

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

या समीकरणांच्या काही उल्लेखनीय उकली खालीलप्रमाणे आहेत:

• श्वार्ट्‌झशिल्ट उकल, ही उकल गोलाकृतीत सममित, अघूर्णी, विद्युतभररहित वस्तुमानाच्या भोवतीच्या काल-अवकाशाचे वर्णन करते. ह्या उकलीने बऱ्यापैकी संहत असलेल्या वस्तूंसाठी कृष्णविवरसुद्धा निर्माण होतो. केंद्रापासूनच्या श्वार्ट्‌झशिल्ट त्रिज्याहून खूप मोठ्या अंतरांसाठी ह्या उकलीने प्राप्त झालेले व न्यूटनच्या नियमाने सिद्ध झालेले त्वरण, जवळजवळ समान असते.
• राइसनर-नॉर्ड्श्ट्रॉम उकल. हिच्यात केंद्रीय वस्तू विद्युतप्रभारित असते.
• केर उकल घूर्णी वस्तूसाठी.
• केर-न्यूमन उकल विद्युतप्रभारित, चक्राकार फिरण्याऱ्या(घूर्णी) वस्तूसाठी.
• फ्रीडमन-लमॅत्र-रॉबर्ट्‌सन-वॉकर उकल ही विश्वोत्पत्तिशास्त्रीय उकल आहे, ती विश्वाच्या विस्ताराचे भाकित करते.

साधारण सापेक्षतेच्या शोधाच्या काही दशकांनंतर असे लक्षात आले की साधारण सापेक्षता व पुंज यामिकी ही एकमेकांशी विसंगत आहेत.^[१२] गुरुत्वाकर्षणाचे अन्य बलांप्रमाणे पुंजक्षेत्र सिद्धान्ताने स्पष्टीकरण देणे शक्य आहे. त्यानुसार, जसे विद्युत्चुंबकीय बल कल्पित प्रकाशकणांच्या अदलाबदलीमुळे निर्माण होते, तसे गुरुत्वाकर्षणाचे बल कल्पित गुरुत्वाणूंच्या अदलाबदलीमुळे निर्माण होते असे मांडता येते. ^{[१३][१४]}. परंतु प्लॅंक परिणामक्रमाच्या अंतरांच्या आसपास हे स्पष्टीकरण चुकीचे ठरते. त्यामुळे आज अधिक परिपूर्ण पुंज गुरुत्वाकर्षणाच्या सिद्धान्ताची गरज भासते आहे.^[१५]

इतर ग्रहांसारखेच, प्रत्येक वस्तूवर आकर्षक बल लावणारे पृथ्वीचेही स्वतःभोवतीचे गुरुत्व क्षेत्र आहे. हे क्षेत्र संख्यात्मकदृष्ट्या त्या वस्तूच्या त्वरणाच्या समान असते. पृथ्वीच्या पृष्टभागावरील त्याच्या परिमाणाला g किंवा g₀ या अक्षराने दर्शवतात. वजन व मापांच्या आंतरराष्ट्रीय ब्यूरोप्रमाणे आंतरराष्ट्रीय गणना पद्धतीनुसार पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे असणारे साधारण त्वरण खालीलप्रमाणे आहे:

${\displaystyle g=9.80665\ m\cdot s^{-2}}$ ^[१६]

ह्याचा अर्थ असा की, वातरोध वगळता, पृथ्वीजवळ पडणाऱ्या कोणत्याही वस्तूची गती आपल्या उगमापासूनच्या प्रत्येक सेकंदानंतर ९.८०६६५ मि./से. ह्या प्रमाणात वाढते.

न्यूटनच्या गतिविषयक तिसऱ्या नियमानुसार पृथ्वीवरसुद्धा तेवढ्याच प्रमाणात विरुद्ध दिशेने लागणारे एक बल असते. त्यामुळे पृथ्वी त्या वस्तूजवळ सरकते. पण वस्तूच्या तुलनेत पृथ्वीचे वस्तुमान फारच जास्त असल्यामुळे हे बल अतिशय किरकोळ असते.

फिरणाऱ्या पृथ्वीच्या संदर्भ चौकटीत असल्यामुळे, गुरुत्वाकर्षणाव्यतिरिक्त पृथ्वीवरील वस्तूवर एक अपकेंद्री बल सुद्धा लागू होते.

• गुरुत्वाकर्षण इन अवर टाईम कार्यक्रमात बीबीसी रेडिओ ४ वरील चर्चा. (प्रत्यक्षात ऐका) (इंग्रजी भाषा)

1. ^ ब्रह्मगुप्त, ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त (६२८)
2. ^ http://chestofbooks.com/health/india/Sushruta-Samhita/images/Siddhanta-Shiromani-Bhaskaracharyaya-Golodhyava.jpg
3. ^ "संग्रहित प्रत" (PDF). 2013-05-21 रोजी मूळ पान (PDF) पासून संग्रहित. 2013-02-26 रोजी पाहिले.
4. ^ http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/DiscoveringGravity.htm
5. ^ "संग्रहित प्रत". 2013-04-02 रोजी मूळ पान पासून संग्रहित. 2013-02-27 रोजी पाहिले.
6. ^ "संग्रहित प्रत". 2013-04-02 रोजी मूळ पान पासून संग्रहित. 2013-02-27 रोजी पाहिले.
7. ^ चंद्रशेखर, सुब्रह्मण्यन (२००३). न्यूटन्स प्रिन्सिपिया फॉर द कॉमन रीडर (Newton's Principia for the common reader). ऑक्सफर्ड: ऑक्सफर्ड विद्यापीठ मुद्रणालय. (pp.1–2).
8. ^ न्यूटन, आयझॅक. द प्रिन्सिपिया: मॅथेमॅटिकल प्रिन्सिपल्स् ऑफ नॅचरल फिलॉसॉफी. प्रिसीडेड बाय अ गाइड टू न्यूटन्स् प्रिन्सिपिया, बाय आय. बर्नार्ड कोहेन. (The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen.) (लॅटिनमधून भाषांतरित; इंग्रजी भाषेत). p. ९५६. विधान ७५, प्रमेय ३५CS1 maint: unrecognized language (link)
9. ^ http://www.black-holes.org/relativity6.html ^{[मृत दुवा]}
10. ^ पॉल एस. वेसन (२००६). पंचमितीय भौतिकशास्त्र (Five-dimensional Physics). World Scientific. पान ८२.
11. ^ ड्मिट्री पोगोस्यॅन. "व्याख्यान २०: कृष्णविवर—आइन्स्टाइन समतुल्यता सिद्धान्त (Black Holes—The Einstein Equivalence Principle)". अल्बर्टा विद्यापीठ.
12. ^ रॅंडल, लीसा. वॉर्प्ड पॅसेजेस : अनरॅव्हलिंग द युनिव्हर्सेस हिडन डायमेन्शन्स (Warped Passages: Unraveling the Universe's Hidden Dimensions) (इंग्रजी भाषेत).
13. ^ फेन्मन, रि. फि. गुरुत्वाकर्षणावरील फेन्मनची व्याख्याने (Feynman lectures on gravitation) (इंग्रजी भाषेत).
14. ^ झी, ए. क्वांटम फील्ड थियरी इन अ नटशेल (Quantum Field Theory in a Nutshell) (इंग्रजी भाषेत).
15. ^ रॅंडल, लीसा (२००५)
16. ^ The International System of Units (SI) (इंग्रजी भाषेत). p. १४३. घोषणा ३, परिशिष्ट १ |पहिलेनाव= missing |पहिलेनाव= (सहाय्य)