गणिताच्या शाखा

इतरत्र उल्लेख केल्याप्रमाणे वाणिज्य, संख्यादींमुळे ढोबळ रितीने गणिताच्या मोजणी, संरचानादी अशा चार प्रमुख शाखा आहेत. या व्यतिरिक्त गणिताचा इतर शाखांशी असलेला दुवा अभ्यासण्यासाठी तर्कशास्त्र, संच सिद्धान्त, उपयोजित गणित आणि अर्वाचीन काळी अनिश्चिततेचा काटेकोर अभ्यास करणारी शाखा अशी इतर उपशाखा आहेत.

मोजणीचा अभ्यास संख्यांपासून सुरू होतो. आधी नैसर्गिक संख्या, पूर्णांक आणि त्यांच्यावर आकडेमोडीच्या क्रिया अशा क्रमाने अंकगणिताचा ओनामा होतो. पूर्णांकाच्या सखोल गुणधर्मांचा अभ्यास संख्यासिद्धांतात होतो. यातच फर्माचे अखेरचे प्रमेय आदी लोकप्रिय निष्कर्ष येतात. संख्यासिद्धान्तात जुळ्या मूळ संख्या आणि गोल्डबाखचा सुकल्प या न उलगडलेल्या दोन प्रसिद्ध समस्या आहेत.

संख्यापद्धतींचा विकास होतांना पूर्णांक हे व्यय संख्यांच्या संचाचाच उपसंच ही दृष्टी प्राप्त झाली. व्यय संख्या या वास्तव संख्यांचाच उपसंच आहे हे नंतर पुढे आले. मग, वास्तव संख्यांचे क्लिष्ट संख्यांच्या रूपात एकंदरीकरण झाले. संख्यांच्या या पायऱ्या पुढे चतुर्थोळी आणि अष्टोळी पर्यंत पोहोंचल्या. नैसर्गिक संख्यांचा विचार सांतयांतर संख्यांपर्यंत पोहोंचला. त्यामुळे औपचारिक रितीने अनंतापर्यंत संख्या मोजणीची संकल्पना आली. अभ्यासाचा दुसरा भाग म्हणजे आकाराचा अभ्यास. उआ अभ्यासामुळे मूलांक आणि अलेफ संख्यांची कल्पना विकसित झाली. अलेफ संख्यांमुळे अनंत आकाराच्या संचांचे आकारमान अर्थपूर्ण रितीने करता येते.

संख्यांचे संच किंवा फलने अशा बऱ्याच गणिती गोष्टींना अंतर्रचना असते. त्यांच्या अंतर्रचनांच्या संरचनांचा अभ्यास गट, कडे, क्षेत्र आणि इतर अमूर्त पद्धतींमध्ये होतो. गट, कडे अशा अमूर्त गोष्टीसुद्धा गणिती गोष्टीच आहेत. हा अमूर्त बीजगणिताच्या अभ्यासाचा विषय आहे. येथे सदिश ही महत्त्वाची कल्पना आहे. सदिशाचे व्यापक रूप म्हणजे सदिश अवकाश, ज्याचा अभ्यास एकसम बीजगणितात होतो. सदिशाचा अभ्यास गणितातील मोजणी, अवकाश आणि संरचना या तीन प्रमुख विभागांना एकत्र आणतो. सदिश कलन हा त्यालाच चौथ्या प्रमुख विभागात म्हणजे बदलाच्या अभ्यासात विस्तारतो.

अवकाशाचा अभ्यास भूमितीने, विशेष करून युक्लिडीय भूमितीत सुरू होतो. त्रिकोणमितीत अवकाश आणि संख्या यांचा संगम होऊन पायथागोरसचे सुप्रसिद्ध प्रमेय येते. अवकाशाचा आधुनिक अभ्यास या संकल्पनांचे एकंदरीकरण करून उच्चमितीय भूमिती, अयुक्लिडीय भूमिती (ज्यांचा एकंदर सापेक्षता सिद्धांतात खूप वापर होतो) आणि स्थानविद्या अशा शाखा होतात. वैश्लेषिक भूमिती, वैकलनीय भूमिती आणि बीजभूमिती यांत संख्या आणि अवकाश यांची महत्त्वाची भूमिका असते. वैकलनीय भूमितीत तंतूगाठोडे आणि बहुवळींचे कलन या कल्पना येतात. बीजभूमितीच्या अभ्यासाचा विषय आहे - बहुयुकपदी समीकरणांच्या उकलसंच, ज्यांत मोजणी आणि अवकाश या कल्पनांचा संगम होतो, तसेच स्थानविद्या, ज्यांत संरचना आणि अवकाश यांचा संगम होतो. ली गटांचा वापर अवकाश, संरचना आणि बदल यांच्या अभ्यासासाठी होतो. विसाव्या शतकांत स्थानविद्या ही गणितातील सर्वाधिक वेगात विकास झालेली शाखा आहे. स्थानविद्येत पॉईनकेयरचा सुकल्प आणि चार रंगांची समस्या यांचा समावेश होतो. चार रंगांची समस्या ही वादग्रस्त आहे कारण त्याची सिद्धता केवळ संगणकाच्या साहाय्याने पडताळली गेली असली तरी अजूनही कुणा माणसाला ती कागदावर मांडता किंवा सिद्ध करता आलेली नाही.

बदल समजणे आणि त्याचा अभ्यास हा नैसर्गिक विज्ञानाचा विषय आहे. यासाठी कलन हे एक शक्तिशाली गणिती उपकरण या दृष्टीने विकसित करण्यात आले. बदलणाऱ्या मोजणीचे वर्णन करण्यासाठी त्यांत फलनाची संकल्पना प्रमुख आहे. वास्तव संख्या आणि आणि वास्तवमूल्यी फलनांचा काटेकोर अभ्यास "वास्तव विश्लेषण" या नावाने जाणल्या जाते. यांचप्रकारे क्लिष्ट विश्लेषणांत क्लिष्ट संख्यांचा विचार होतो. गणितातील मूलभूत, अत्यंत महत्त्वपूर्ण आणि अजूनही न उकललेले रेमनचे गृहीतक हे क्लिष्ट विश्लेषणांत येते. फलनीय विश्लेषणांत फलनांच्या (बहुतेक अनंतमितीय) अवकाशाचा विचार होतो. भौतिकशास्त्रातील संख्य गतिशक्तिशास्त्रात फलनीय विश्लेषणाचा वापर होतो. बऱ्याच समस्या या एखादी मोजणी आणि तिचा बदल यांच्याशी संबंधित असतात, अर्थातच त्यांचा अभ्यास विकलनीय समीकरणात होतो. निसर्गातील कित्येक घटनांचे वर्णन गतिक पद्धतींच्या साहाय्याने करता येते. गोंधळ सिद्धांताचा वापर करून या अनपेक्षित वाटणाऱ्या आणि तरीही नैदानिक वर्तणूक असणाऱ्या अशा नैसर्गिक घटनांवर गणिती भाष्य करता येते.

गणिताचा पाया स्पष्ट करण्यासाठी गणितीय तर्क आणि संच सिद्धान्त या शाखा निर्माण झाल्या. यांच दृष्टीने हल्ली प्रवर्ग सिद्धान्त विकसित करण्यात येत आहे. गणितीय तर्काचा विषय, गणिताचे मूळवाक्यायन करून त्यातून निर्माण होणाऱ्या तत्त्वबंधाचे निकाल अभ्यासणे हा आहे. अर्थातच त्यांत वर उल्लेख केलेला गोडेलचे अपूर्णतेचे प्रमेय येते. आधुनिक तर्कांत स्वावर्तन सिद्धान्त, प्रारूप सिद्धान्त आणि सिद्धता सिद्धान्त यांचा समावेश असून ते सैद्धांतिक संगणन विज्ञानाशी संबंधित आहे.

सैद्धांतिक संगणन विज्ञानात वापरली जाणाऱ्याया गणिताच्या शाखांना सामान्यतः विसंधी गणित असे म्हणतात. यात गणनीय सिद्धान्त, गणकेय क्लिष्टता सिद्धान्त आणि माहिती सिद्धान्त यांचा समावेश होतो. गणनीय सिद्धान्तात संगणकाच्या विविध सैद्धांतिक प्रारूपांच्या मर्यादांचा अभ्यास होतो. त्यात सुप्रसिद्ध ट्युरिंग यंत्राचाही समावेश आहे. क्लिष्टता सिद्धान्तात संगणकाधिष्ठित सारण्यांचा अभ्यास होतो. काही समस्या सैद्धांतिक दृष्टीने जरी संगणकाच्या मदतीने सोडवता येत असल्या तरी कालावकाशाच्या दृष्टीने इतक्या महागड्या असतात की संगणकाच्या समूर्तकाची कितीही वेगवान प्रगती झाली तरी त्या सोडवणे अव्यावहारिक ठरते. याचाच संबंध संगणकाधिष्ठित सारण्यांशी असतो. माहिती सिद्धान्ताचा विषय दिलेल्या माध्यमावर किती विदा साठवता येईल याच्याशी संबंधित असल्याने त्यांत संकोच आणि ज्ञंकाचा समावेश होतो.

तौलनिक दृष्ट्या नवीन शाखा असूनही माहिती सिद्धान्तात काही न सुटलेल्या मूलभूत समस्या आहेत. यांत प्रामुख्याने, जी सहस्त्रक पारितोषिक समस्यांपैकी एक आहे अशी P=NP? ही सुप्रसिद्ध समस्या येते

अमूर्त गणितीय अवजारांचा वापर करून विज्ञाने, व्यवसाय आणि इतर क्षेत्रातील समस्या सोडवण्याचे शास्त्र म्हणजे उपयोजित गणित होय. ज्या शाखेत शक्यता सिद्धान्ताचा एक अवजार म्हणून वापर होतो आणि जेथे बदलाची प्रमुख भूमिका असते अशा घटनांचे वर्णन, विश्लेषण आणि भविष्यकथन करता येते, अशी या गणिताची, सांख्यिकीनामक एक महत्त्वाची शाखा आहे, प्रयोगांमध्ये, सर्वेक्षणांमध्ये व निरीक्षणात्मक अभ्यासांत सांख्यिकीचा प्रामुख्याने वापर होतो. (मात्र, बरेच सांख्यिकी तज्‍ज्ञ हे स्वतःला गणिती न मानता इतर संबंधित शास्त्रांच्या गटातील मानतात.). संख्यांच्या विश्लेषणात संख्यांशी खेळण्याच्या मानवी शक्तीच्या मर्यादेपलीकडील गणितीय समस्या परिणामकारक रितीने सोडवण्याच्या संख्याविषयक विधींचा अभ्यास होतो. यांत संख्यांची चक्रकारी केल्याने होणारी त्रुटी, तसेच इतर कारणांनी निर्माण होणाऱ्या गणकात्मक त्रुटी इत्यादींचा अभ्यास होतो.

याच्या शाखांची नावे पुढीलप्रमाणे आहेत -

• गणितीय भौतिकशास्त्र
• वैश्लिषिक गतिशक्तिशास्त्र
• गणितीय तरल गतिक
• संख्यात्मक विश्लेषण
• अधिकानुकूलन
• शक्यता
• सांख्यिकी
• गणितीय अर्थशास्त्र
• वित्तीय गणित
• खेळ सिद्धान्त
• गणितीय जीवशास्त्र
• कूटविद्या
• क्रिया संशोधन

गणित म्हणजे ज्यांत सर्वकाही आधीच सिद्ध झालेले आहे अशी झाकलेली बौद्धिक गोष्ट नाही. गणितात न उलगडलेल्या समस्यांची चांगलीच रेलचेल आहे. विविध दिशांना प्रगती करणारे निबंध आणि प्रबंध गणितज्ञ दर महिन्यात प्रसिद्ध करत असतात. गणित म्हणजे अंकशास्त्र किंवा हिशेबनिशी नाही. गणिताभासी झटापटींमध्ये गणिताबद्दल गैरसमज होऊन, केवळ अज्ञानामुळे चुकीच्या कल्पना मांडल्या जातात. गणितात फर्मा आणि मेर्सेन यासारख्या हौशी लोकांच्या कार्याचीही योग्य दखल घेतली जाते अशे कर्ट हिगनरने सिद्ध केले आहे.

भौतिक जगतातील कुठल्याही गोष्टीशी गणिती संकल्पना आणि प्रमेयांचा संबंध असण्याची गरज नाही. जो काही संबंध आहे तो, गणितज्ञ आणि भौतिक शास्त्रज्ञ यांनी त्यांना तार्किक वाटून निवडलेली मूळवाक्ये व व्याख्या-सिद्धान्तांशी जुळणाऱ्या आणि सत्य वाटणाऱ्या नैसर्गिक घटनांमुळे आहे. परंतु, नैसर्गिक घटना त्यावर अवलंबून नाही.

उदाहरणार्थ, आपण दोन संत्री आणि दोन सफरचंदे यांतील दोनत्व शोधण्याचा प्रयत्न करू शकतो. तरीही, असेही म्हणता येते की संत्री व सफरचंदे यांत साम्य असणारे कुठलेही एकक नाही. प्रारूपाची ही कल्पना अर्ध्यामुर्ध्या संत्री किंवा सफरचंदांच्या शक्यतेमुळे अधिकच क्लिष्ट होत जाते. त्यामुळेच नैसर्गिक संख्या समजण्यासाठी जरी आपण संत्र्यांच्या समूहाचा आधार घेऊ शकत असलो तरी नैसर्गिक संख्येची व्याख्या कुठल्याही भौतिक वस्तूंपासून आलेली नाही किंवा त्यावर अवलंबूनही नाही.

इतके असले तरी वास्तव जगतातील समस्या सोडवण्यासाठी गणित हे अत्यंत महत्त्वाचे आणि लोकोपयोगी शास्त्र आहे. त्यामुळेच यूजीन विगनर या भौतिकीतील शास्त्रज्ञाने गणिताचा अतर्क्य कार्यक्षमता असा आधीच उल्लेख केला आहे, पहा: लेख इंग्रजी दुवा लिहिला आहे.

• गणित
• विज्ञानरूपी गणित