अंतर

गणिताच्या भाषेमधे, अंतराची व्याख्या खालीलप्रमाणे केली जाते.^[१] समजा 'क्ष' हा रिक्तेतर संच आहे. क्ष मधील अंतर अ म्हणजे क्ष×क्ष वरून ऋणेतर वास्तव संख्यांवर जाणारे फलन होय (म्हणजे अ: क्ष×क्ष → ऋणेतर वास्तव संख्या). हे खालील अटींची पूर्तता करते:

१. अ(क, ख) = अ(ख, क)

२. अ(क, ख) = ० जेव्हा आणि केवळ जेव्हा क = ख

३. अ(क, ग) ≤ अ(क, ख) + अ(ख, ग)

क, ख, ग ε क्ष.

अट १ सांगते की क ते ख हे अंतर नि ख ते क हे अंतर सारखेच आहे. कोठूनही मोजावयाला घेतले तरी फरक पडत नाही. अट २ सांगते की दोन बिंदूंतील अंतर ० असणे म्हणेच ते बिंदू दोन वेगळे बिंदू नसून एकच आहेत. अट ३ ला त्रिकोणाच्या बाजूंचा गुणधर्म म्हणतात. त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा जास्त असते. तसेच क, ख नि ग हे तीन बिंदू जर त्रिकोण बनवतात असे समजले तर त्यांनी हा गुणधर्म पाळला पाहिजे, असे अट ३ सांगते. अ ऋणेतर वास्तव संख्यातील किंमती घेते म्हणजे अंतर कधीच ऋण नसावे अशी अपेक्षा होय.

उदा०
१. व म्हणजे वास्तव संख्यांचा संच समजा. युक्लिडीच्या द्विमिती प्रतलावर, म्हणजे व^२ वर अ((क_१, ख_१), (क_२, ख_२)) =[( क_१ - क_२)^२ + ( ख_१ - ख_२)^२]^½ हे फलन अंतर देते. हे नित्याचे युक्लिडियन अंतर होय.
असेच त्रिमिती अवकाशासाठीही करता येते.

२. क्ष हा कोणताही रिक्तेतर संच असेल तर खालील सूत्राने त्यावर अंतर देता येते:
अ(क, ख) = ० , जर क = ख
अ(क, ख) = १ , जर क ≠ ख.
हा अ वरील तिन्ही अटी पाळतो. या संचास तुटलेला संच म्हणता येईल. अंतर हे विविध प्रकरचे असते.