सिनुसॉइडल मॉडेल

साइनसॉइडल मॉडेल सांख्यिकी, सिग्नल प्रक्रिया आणि वेळ मालिका विश्लेषणामध्ये, सायन फंक्शनच्या Y _i क्रमाचा अंदाज घेण्यासाठी साइनसॉइडल मॉडेलचा वापर केला जातो:

${\displaystyle Y_{i}=C+\alpha \sin(\omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

जेथे C हा सरासरी पातळी निश्चित करत आहे, α हे साइनसाठी मोठेपणा आहे, ω कोनीय वारंवारता आहे, T _i एक वेळ चल आहे, φ फेज-शिफ्ट आहे, आणि E _i हा त्रुटी क्रम आहे.

हे सायनसॉइडल मॉडेल नॉनलाइनर किमान चौरस वापरून फिट होऊ शकते; चांगली तंदुरुस्त होण्यासाठी, दिनचर्याना अज्ञात पॅरामीटर्ससाठी चांगल्या प्रारंभिक मूल्यांची आवश्यकता असू शकते.सिंगल सायनसॉइडसह मॉडेल बसवणे हे वर्णक्रमीय घनता अंदाज आणि किमान-चौरस वर्णक्रमीय विश्लेषणाचे एक विशेष प्रकरण आहे.

डेटाच्या सरासरीची गणना करून C साठी चांगले प्रारंभिक मूल्य मिळवता येते. जर डेटा ट्रेंड दर्शवेल, म्हणजे, स्थिर स्थानाच्या गृहीतकाचे उल्लंघन केले असेल, तर कोणीही C ला रेखीय किंवा चतुर्भुज किमान चौरस फिटने बदलू शकतो. म्हणजेच मॉडेल बनते

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

किंवा

पिरियडोग्राममधील प्रबळ फ्रिक्वेंसीवरून वारंवारतेचे प्रारंभिक मूल्य मिळू शकते. एक जटिल demodulation फेज प्लॉट वारंवारता साठी या प्रारंभिक अंदाज परिष्कृत करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

सायनसॉइड ऍम्प्लिट्यूडचा अंदाज मिळविण्यासाठी विचलित डेटाचा मूळ मीन वर्ग दोनच्या वर्गमूळाने मोजला जाऊ शकतो. एक जटिल डीमोड्युलेशन अॅम्प्लिट्यूड प्लॉटचा उपयोग मोठेपणासाठी चांगले प्रारंभिक मूल्य शोधण्यासाठी केला जाऊ शकतो. याव्यतिरिक्त, हे प्लॉट डेटाच्या संपूर्ण श्रेणीवर मोठेपणा स्थिर आहे किंवा नाही किंवा ते बदलत आहे की नाही हे सूचित करू शकते. जर प्लॉट मूलत: सपाट असेल, म्हणजे शून्य उतार असेल, तर नॉन-लिनियर मॉडेलमध्ये स्थिर मोठेपणा गृहीत धरणे वाजवी आहे. तथापि, जर उतार हा प्लॉटच्या श्रेणीनुसार बदलत असेल तर, एखाद्याला खालीलप्रमाणे मॉडेल समायोजित करावे लागेल:

${\displaystyle Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

म्हणजेच, एखाद्या वेळेच्या कार्यासह α बदलू शकते. वरील मॉडेलमध्ये एक रेखीय फिट निर्दिष्ट केले आहे, परंतु आवश्यक असल्यास हे अधिक विस्तृत कार्याने बदलले जाऊ शकते.

कोणत्याही सांख्यिकीय मॉडेलप्रमाणे, फिट मॉडेल प्रमाणीकरणाच्या ग्राफिकल आणि परिमाणात्मक तंत्रांच्या अधीन असले पाहिजे. उदाहरणार्थ, स्थान, स्केल, स्टार्ट-अप इफेक्ट्स आणि आउटलियर्समधील महत्त्वपूर्ण बदल तपासण्यासाठी रन सीक्वेन्स प्लॉट . अवशेष स्वतंत्र आहेत याची पडताळणी करण्यासाठी लॅग प्लॉट वापरला जाऊ शकतो. आउटलियर्स लॅग प्लॉटमध्ये देखील दिसतात आणि अवशेषांमधील स्क्युनेस किंवा इतर गैर- सामान्यता तपासण्यासाठी हिस्टोग्राम आणि सामान्य संभाव्यता प्लॉट .

सोयीस्कर अविभाज्य समीकरणामुळे नॉन-लीनियर रिग्रेशनला रेखीय प्रतिगमनामध्ये रूपांतरित करणे ही वेगळी पद्धत आहे. मग, प्रारंभिक अंदाजाची आवश्यकता नाही आणि पुनरावृत्ती प्रक्रियेची आवश्यकता नाही : फिटिंग थेट मिळते.

डेटाच्या सरासरीची गणना करून C साठी चांगले प्रारंभिक मूल्य मिळवता येते. जर डेटा ट्रेंड दर्शवेल, म्हणजे, स्थिर स्थानाच्या गृहीतकाचे उल्लंघन केले असेल, तर कोणीही C ला रेखीय किंवा चतुर्भुज किमान चौरस फिटने बदलू शकतो. म्हणजेच मॉडेल बनते

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

किंवा

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i}+B_{2}T_{i}^{2})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

पिरियडोग्राममधील प्रबळ फ्रिक्वेंसीवरून वारंवारतेचे प्रारंभिक मूल्य मिळू शकते. एक जटिल demodulation फेज प्लॉट वारंवारता साठी या प्रारंभिक अंदाज परिष्कृत करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

सायनसॉइड ऍम्प्लिट्यूडचा अंदाज मिळविण्यासाठी विचलित डेटाचा मूळ मीन वर्ग दोनच्या वर्गमूळाने मोजला जाऊ शकतो. एक जटिल डीमोड्युलेशन अॅम्प्लिट्यूड प्लॉटचा उपयोग मोठेपणासाठी चांगले प्रारंभिक मूल्य शोधण्यासाठी केला जाऊ शकतो. याव्यतिरिक्त, हे प्लॉट डेटाच्या संपूर्ण श्रेणीवर मोठेपणा स्थिर आहे किंवा नाही किंवा ते बदलत आहे की नाही हे सूचित करू शकते. जर प्लॉट मूलत: सपाट असेल, म्हणजे शून्य उतार असेल, तर नॉन-लिनियर मॉडेलमध्ये स्थिर मोठेपणा गृहीत धरणे वाजवी आहे. तथापि, जर उतार हा प्लॉटच्या श्रेणीनुसार बदलत असेल तर, एखाद्याला खालीलप्रमाणे मॉडेल समायोजित करावे लागेल:

${\displaystyle Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

म्हणजेच, एखाद्या वेळेच्या कार्यासह α बदलू शकते. वरील मॉडेलमध्ये एक रेखीय फिट निर्दिष्ट केले आहे, परंतु आवश्यक असल्यास हे अधिक विस्तृत कार्याने बदलले जाऊ शकते.

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

डेटाच्या सरासरीची गणना करून C साठी चांगले प्रारंभिक मूल्य मिळू शकते. जर डेटा ट्रेंड दर्शवेल, म्हणजे, स्थिर स्थानाच्या गृहीतकाचे उल्लंघन केले असेल, तर कोणीही C ला रेखीय किंवा चतुर्भुज किमान वर्ग फिटने बदलू शकतो. म्हणजेच मॉडेल बनते

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

किंवा

${\displaystyle Y_{i}=(B_{0}+B_{1}T_{i}+B_{2}T_{i}^{2})+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

पिरियडोग्राममधील प्रबळ फ्रिक्वेंसीवरून वारंवारतेचे प्रारंभिक मूल्य मिळू शकते. एक जटिल demodulation फेज प्लॉट वारंवारता साठी या प्रारंभिक अंदाज परिष्कृत करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

सायनसॉइड ऍम्प्लिट्यूडचा अंदाज मिळविण्यासाठी विचलित डेटाचा मूळ मीन वर्ग दोनच्या वर्गमूळाने मोजला जाऊ शकतो. एक जटिल डीमोड्युलेशन अॅम्प्लिट्यूड प्लॉटचा उपयोग मोठेपणासाठी चांगले प्रारंभिक मूल्य शोधण्यासाठी केला जाऊ शकतो. याव्यतिरिक्त, हे प्लॉट डेटाच्या संपूर्ण श्रेणीवर मोठेपणा स्थिर आहे किंवा नाही किंवा ते बदलत आहे की नाही हे सूचित करू शकते. जर प्लॉट मूलत: सपाट असेल, म्हणजे शून्य उतार असेल, तर नॉन-लिनियर मॉडेलमध्ये स्थिर मोठेपणा गृहीत धरणे वाजवी आहे. तथापि, जर उतार हा प्लॉटच्या श्रेणीनुसार बदलत असेल तर, एखाद्याला खालीलप्रमाणे मॉडेल समायोजित करावे लागेल:

${\displaystyle Y_{i}=C+(B_{0}+B_{1}T_{i})\sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

म्हणजेच, एखाद्या वेळेच्या कार्यासह α बदलू शकते. वरील मॉडेलमध्ये एक रेखीय फिट निर्दिष्ट केले आहे, परंतु आवश्यक असल्यास हे अधिक विस्तृत कार्याने बदलले जाऊ शकते.

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

सोयीस्कर अविभाज्य समीकरणामुळे नॉन-लीनियर रिग्रेशनला रेखीय प्रतिगमनामध्ये रूपांतरित करणे ही वेगळी पद्धत आहे. मग, प्रारंभिक अंदाजाची आवश्यकता नाही आणि पुनरावृत्ती प्रक्रियेची आवश्यकता नाही : फिटिंग थेट मिळते. ^[१]

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

सोयीस्कर अविभाज्य समीकरणामुळे नॉन-लीनियर रिग्रेशनला रेखीय प्रतिगमनामध्ये रूपांतरित करणे ही वेगळी पद्धत आहे. मग, प्रारंभिक अंदाजाची आवश्यकता नाही आणि पुनरावृत्ती प्रक्रियेची आवश्यकता नाही : फिटिंग थेट मिळते. ^[२]

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

सोयीस्कर अविभाज्य समीकरणामुळे नॉन-लीनियर रिग्रेशनला रेखीय प्रतिगमनामध्ये रूपांतरित करणे ही वेगळी पद्धत आहे. मग, प्रारंभिक अंदाजाची आवश्यकता नाही आणि पुनरावृत्ती प्रक्रियेची आवश्यकता नाही : फिटिंग थेट मिळते. ^[३]

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

सोयीस्कर अविभाज्य समीकरणामुळे नॉन-लीनियर रिग्रेशनला रेखीय प्रतिगमनामध्ये रूपांतरित करणे ही वेगळी पद्धत आहे. मग, प्रारंभिक अंदाजाची आवश्यकता नाही आणि पुनरावृत्ती प्रक्रियेची आवश्यकता नाही : फिटिंग थेट मिळते. ^[४]

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

1. ^ The method is explained in the chapter "Generalized sinusoidal regression" pp.54-63 in the paper:
2. ^ The method is explained in the chapter "Generalized sinusoidal regression" pp.54-63 in the paper:
3. ^ The method is explained in the chapter "Generalized sinusoidal regression" pp.54-63 in the paper:
4. ^ The method is explained in the chapter "Generalized sinusoidal regression" pp.54-63 in the paper: