पुंज यामिकाची ओळख

पुंज यामिक (किंवा पुंजवाद) ह्या भौतिकशास्त्रशाखेत अणु किंवा त्यापेक्षाही लहान पदार्थ व ऊर्जा यांच्या वर्तनाचा अभ्यास होतो.

${\displaystyle H\Psi =E\Psi }$

हे ते प्रसिद्ध श्रोडिंगर लहर समीकरण होय. येथे ${\displaystyle H}$ हा एक कारक (Operator) असून त्यास हॅमिल्टोनियन असे संबोधिले जाते. ${\displaystyle \Psi }$ हे लहर फ़ल असून हॅमिल्टोनियन हा कारक त्याच्यावर क्रिया करतो. हॅमिल्टोनियन हा कारक एकूण ऊर्जेचा कारक असून समीकरणाची उजवी बाजू त्याची आयजेनकिंमत ${\displaystyle E}$ दर्शवीते. येथे ${\displaystyle E}$ ही लहर फलाची एकूण ऊर्जा असते.

H हा कारक लिहीण्याचे नियम असे:

एकूण ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितीज ऊर्जा

H = T + V

येथे T हा गतिज ऊर्जेचा कारक असून V हा स्थितीज ऊर्जेचा कारक आहे.

${\displaystyle T=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

h : प्लांकचा स्थिरांक

m : Ψ हे ज्याचे लहर फ़ल आहे त्या कणाचे वस्तुमान

${\displaystyle \nabla ^{2}}$ या कारकाला लाप्लासियन असे संबोधिले जाते. लाप्लासियन हा दिलेल्या व्यवस्थेच्या (system) भूमितीवर तसेच को-ओर्डिनेट अक्षाच्या निवडीवर अवलंबून असतो. काही सतत वापरले जाणारे लाप्लासियन पुढिलप्रमाणे: १) कार्टेशियन अक्ष व्यवस्था: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

2) दंडगोलाकार सममिती असलेली व्यवस्था: ${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

३) गोलाकार सममिती असलेली व्यवस्था: ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}$

या व्यतीरिक्त सममिती असलेल्या व्यवस्थांसाठी योग्य अक्ष निवडून लाप्लासियन लिहावा. अशाप्रकारे T लिहीता येतो.

V हे कारकाचे कार्य करणारे स्थितीज ऊर्जा फ़ल असून ते दिलेल्या व्यवस्थेवर अवलंबून असते. सर्वसाधारणपणे या फ़लाची चले T मध्ये वापरलेली चलेच असतात.

अशाप्रकारे H लिहीला जातो.

उदा.: समजा Ψ हे हायड्रोजन अणूतील इलेक्ट्रॉनचे लहर फ़ल आहे. तर त्यासाठी श्रोडिंजरचे लहर समीकरण खालीलप्रमाणे लिहीत येते.
गतीज ऊर्जा कारकः

${\displaystyle T=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}sin\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}]}$

स्थितीज ऊर्जा कारकः

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e}{r^{2}}}}$

म्हणून

${\displaystyle H\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}sin\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}sin\theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}sin^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}]+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e}{r^{2}}}\psi =E\psi }$

${\displaystyle \Delta x.\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

${\displaystyle \Delta x=}$ कणाच्या स्थितीतील अनिश्चितता

${\displaystyle \Delta p=}$ कणाच्या संवेगातील अनिश्चितता

या तत्त्वानुसार कणाचा वेग (किंवा संवेग) आणि स्थिती यांचे अचूक ज्ञान एकाच वेळी शक्य नसते. वेग किंवा स्थिती यांपैकी एकाची महत्तम अनिश्चितता माहित असल्यास दुसऱ्याची लघुत्तम अनिश्चितता हायझेनबर्गचा अनिश्चिततेचा सिद्धान्त वापरून काढता येते. याच तत्त्वाला अनुसरून अजून एक अनुमान काढता येते. ते असे की वेग (किंवा संवेग) आणि स्थिती यापैकी एक राशी पूर्णपणे सुनिश्चित किंवा पूर्णपणे अनिश्चित असेल तर दुसरी राशी अनुक्रमे पूर्णपणे अनिश्चित किंवा पूर्णपणे सुनिश्चित असते.

उदा.:

समजा Ψ हे मुक्त एकमितीय अवकाशातील कणाचे लहर फ़ल आहे. तर त्याचा गतीज ऊर्जा कारकः

${\displaystyle T=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

स्थितीज ऊर्जा कारकः

${\displaystyle V=0}$

=> श्रोडिंजर लहर समीकरण बनते: ${\displaystyle H\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi }$

हे समीकरण साध्या कंपन गतीच्या (Simple Harmonic Motion) समीकरणाशी मिळ्तेजुळते असल्याने त्याचे थेट सर्वसाधारण उत्तर फ़ल (General solution function) पुढीलप्रमाणे:

Ψ = A cos kx + B sin kx जेथे ${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$

आता याच फ़लावर संवेग कारकाने क्रिया केल्यास पुढील अनुमाने मिळतात:

एकमितीय अवकाशातील संवेग कारकः ${\displaystyle P={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}}$

=> ${\displaystyle P\psi =-{\frac {\hbar }{i}}k(Acoskx-Bsinkx)}$

=> कंसातील समीकरण Ψशी मिळ्तेजुळते नाही. याचाच अर्थ Ψ हे Pचे आयजेनफ़ल नाही. त्यामुळे P कारकाची Ψ वरील क्रिया कोणतीही निश्चित आयजेनकिंमत देत नाही. हीच संवेगातील अनिश्चितता होय.

हे अनुमान हायजेनबर्गचा अनिश्चिततेचा सिद्धान्त पाळते. कारण कण सापडण्याची शक्यता दर्शविणारे फ़ल ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ हे येथे xचे फ़ल (${\displaystyle sinosoid^{2}}$ प्रकारचे) आहे. हे फ़ल ठरावीक अंतराने महत्तम किंमत गाठते. त्यामुळे त्या ठिकाणी कण मिळण्याची शक्यता सर्वाधिक असते. याचाच अर्थ स्थितीत संपूर्ण अनिश्चितता नसते. याच कारणास्तव संवेगाही अनिश्चितता आढळ्ते.

आता वरील सर्वसाधारण उत्तर फ़लाचे विशिष्ट उदाहरण (special case) पहा. जर B = i A असेल तर ${\displaystyle \psi =Ae^{ikx}}$ होते. येथे नेहमीच
${\displaystyle |\psi |^{2}=1}$ असते. याचाच अर्थ कण सापडण्याची शक्यता सर्वत्र समान असते. म्हणजेच कणाच्या स्थितीबाबत संपूर्ण अनिश्चितता असते. आता या Ψ वर P या कारकाची क्रिया केल्यास

${\displaystyle P\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}Ae^{ikx}={\frac {\hbar }{i}}ik\psi =\hbar k\psi }$

=> संवेग पूर्णपणे सुनिश्चित असून त्याची किंमत ${\displaystyle \hbar k}$ इतकी असते. अशाप्रकारे एकाच वेळी असणारी स्थितीतील संपूर्ण अनिश्चितता व संवेगातील संपूर्ण सुनिश्चितता हायझेनबर्गच्या अनिश्चिततेच्या सिद्धान्ताला धरून आहे.