गॅमा फल (Gamma function) Γ(z ) ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे Γ(2 ) = 1!,Γ(3 ) = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यां साठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t . {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.} पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा n ! = Γ(n + 1)
Γ(z) परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0. Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी. Γ(z+1)=zΓ(z) (कार्य समीकरण) Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin π z , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} } जे सूचित करते,
Γ
(
z
−
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
Γ
(
−
z
)
Γ
(
1
+
z
)
Γ
(
n
+
1
−
z
)
,
n
∈
Z
{\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }
लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र, Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).} ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}
पाय फलाची व्याख्या (pi function)Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t . {\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.}
Π(z ) = Γ(z + 1) .
अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, Π(n ) = n ! .
फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, 0! = 1! = 1 , (−1/2)! = √π , 1/2! = √π /2 . या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक z (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां ) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. Π ( z ) = z Π ( z − 1 ) . {\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}
Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) . {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.}
Γ ( 1 2 ) = ( − 1 2 ) ! = Π ( − 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,} n ∈ N Γ ( 1 2 + n ) = ( − 1 2 + n ) ! = Π ( − 1 2 + n ) = π ∏ k = 1 n 2 k − 1 2 = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 1 ( n − 1 ) ! π . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}} Γ ( 9 2 ) = 7 2 ! = Π ( 7 2 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 7 ! 2 7 3 ! π = 105 16 π ≈ 11.631 728 … {\displaystyle \Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots }
सर्व n ∈ N Γ ( 1 2 − n ) = ( − 1 2 − n ) ! = Π ( − 1 2 − n ) = π ∏ k = 1 n 2 1 − 2 k = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.} Γ ( − 5 2 ) = ( − 7 2 ) ! = Π ( − 7 2 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.945 308 … {\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots }
गॅमा फलाच्या काही विशिष्ट किंमती ..
Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}} गुणाकार व्यस्त गॅमा फलः
1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.} 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073bf6ce7a3fbee30bd905a7c75e13b7ce9a80df)
