क्षेत्र सदिश

क्षेत्र सदिश किंवा क्षेत्रफळ सिदिश ही क्षेत्रफळ या संकल्पनेचे गणिती अमूर्तीकरण आहे. एरवी जरी आपण क्षेत्रफळास अदिश राशी समजत असलो, तरीही भूमितीमधे त्यास सदिश मानणे उपयुक्त ठरते. या कारणास्तव क्षेत्रफळ "सदिशचा" अभ्यास केला जातो.

समजा ${\displaystyle {\vec {a}}}$ आणि ${\displaystyle {\vec {b}}}$ या त्रिमीत वास्तव सदिश अवकाश, म्हणजेच ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ मधील, दोन सदिश आहेत. ${\displaystyle {\vec {a}}}$ आणि ${\displaystyle {\vec {b}}}$ संबधित क्षेत्रफळ सदिशाचे मूल्य या सदिशांनी बंदिस्त केलेल्या क्षेत्रफळाइतकी असते, आणि क्षेत्रफळ सदिशाची दिशा उजव्या हाताच्या अंगठ्याचा नियम वापरून ठरवतात; त्यामुळे, सहाजिकच, क्षेत्रफळ सदिश ${\displaystyle {\vec {a}}}$ आणि ${\displaystyle {\vec {b}}}$ला सामावणाऱ्या प्रतलास लंब असते. या क्षेत्र सदिश ${\displaystyle {\vec {A}}}$चे गणिती सूत्र पुढीलप्रमाणे आहे:

${\displaystyle {\vec {A}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \theta {\hat {n}}\,;}$

येथे ${\displaystyle |{\vec {a}}|}$ आणि ${\displaystyle |{\vec {b}}|}$ या सदिशांच्या लांबी आहेत, ${\displaystyle \theta }$ हा ${\displaystyle {\vec {a}}}$ आणि ${\displaystyle {\vec {b}}}$ मधील सदिश कोन आहे, आणि ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ही उपरोधृत उजव्या हाताच्या अंगठ्याचा नियम वापरून ठरवलेली, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ आणि ${\displaystyle {\vec {b}}}$ला सामावणाऱ्या प्रतलास लंब असणारी एकक सदिश आहे^[१].

भूमितीतील गणिती गोधड्याचा अभ्यास करताना वापरला जाणारा वेज गुणाकार वा सुळक्याचा गुणाकार हे सदिश गुणाकाराचे अमूर्तीकरण आहे; तर ${\displaystyle n}$-मितीय वास्तव गणिती गोधडीवरील २-स्वरुप (2-form) म्हणजे वर उल्लेखलेली क्षेत्रफळ सदिश होय, आणि n-स्वरूप (n-form) म्हणजे (अमूर्त) घनफळ सदिश वा घनफळ स्वरूप (volume form) होय ^[२].