अन्वस्ताभीय निर्देशक

अन्वस्ताभीय निर्देशके (इंग्लिश:Paraboloidal coordinates)${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ ही एक त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धत असून ती द्विमितीय अन्वास्तीय निर्देशक पद्धतीचे व्यापक रूप आहे. विवृत्ताभीय निर्देशकांप्रमाणे अन्वस्ताभीय निर्देशक पद्धतीत लंबकोनी द्विघाती निर्देशक प्रतले असतात ती द्विमितीय लंबकोनी पद्धतींच्या प्रक्षेपणाने किंवा परिवलनाने बनत नाहीत

कार्टेशियन निर्देशके ${\displaystyle (x,y,z)}$ विवृत्ताभीय निर्देशकांपासून ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ गणिती सूत्रांनी बनविता येऊ शकतात.

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}}$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)}$

आणि खालील बंधने लागू पडतात.

${\displaystyle \lambda <B<\mu <A<\nu }$

परिणामतः, ${\displaystyle \lambda }$ ह्या स्थिरांकाची पृष्ठे विवृत्ताभीय अन्वस्ताभ असतात.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda }$

आणि ${\displaystyle \nu }$ ह्या स्थिरांकाची पृष्ठेसुद्धा तसीच असतात:-

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu }$

तसेच, ${\displaystyle \mu }$ ह्या स्थिरांकाची पृष्ठे अपास्तीय अन्वस्ताभ असतात:-

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu }$

अन्वस्ताभीय निर्देशकांची ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ मापक घटके ह्याप्रमाणे आहेत:-

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}}$

म्हणूनच, अतिसूक्ष्म घनफळ पुढीलप्रमाणे असते:-

${\displaystyle dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ आणि ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ सारखे भैदन क्रियक हे लंबकोनी निर्देशकांतील मापक घटकाचे सूत्र वापरून ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ ह्या निर्देशकांत मांडता येतात.

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 664. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, साचा:LCCN|0-07-043316-X, [[:साचा:LCCN]]]] Check |isbn= value: invalid character (सहाय्य).
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 184–185. साचा:LCCN.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. साचा:LCCN, ASIN B0000CKZX7.
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd ed. ed.). Orlando, FL: Academic Press. pp. 119–120.CS1 maint: extra text (link)
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 98. साचा:LCCN.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302.CS1 maint: extra text (link)

• मॅथवर्ल्डवरील एकनाभ अन्वस्ताभीय निर्देशकांवरील माहिती